Apakah kontrol kuantum memungkinkan untuk menerapkan gerbang apa pun?

Menggunakan teknik kontrol kuantum dimungkinkan untuk mengontrol sistem kuantum dalam berbagai skenario yang berbeda (misalnya 0910.2350 dan 1406.5260 ).

Secara khusus, ditunjukkan bahwa dengan menggunakan teknik ini dimungkinkan untuk menerapkan gerbang seperti gerbang Toffoli (kuantum) ( 1501.04676 ) dengan kesetiaan yang baik. Lebih tepatnya, mereka menunjukkan bahwa diberi gerbang Toffoli , didefinisikan sebagai gerbang C-CNOT dan Hamiltonian bergantung waktu berisi serangkaian interaksi tertentu, orang dapat menemukan serangkaian parameter tergantung waktu) dari sedemikian rupa sehingga $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$

$$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$$ $H(t)$$H(t)$ $$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$$

Adakah hasil yang diketahui tentang universalitas pendekatan semacam itu? Dengan kata lain, apakah alat yang disediakan oleh teori kontrol kuantum memungkinkan untuk mengatakan kapan, mengingat serangkaian kendala pada parameter Hamiltonian yang diizinkan, gerbang target yang diberikan dapat direalisasikan? (1)

Lebih tepatnya, masalahnya adalah sebagai berikut: memperbaiki gerbang target bertindak atas seperangkat qubit (atau lebih umum qudit), dan Hamiltonian parametris dari bentuk , di mana adalah himpunan operator (Hermitian) yang tetap, dan adalah parameter yang bergantung pada waktu untuk ditentukan. Apakah ada cara untuk mengetahui apakah ada koefisien sedemikian rupa sehingga $\mathcal U$$H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$$\{\sigma_k\}_k$$c_k(t)$$\{c_k(t)\}_k$

$$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$$

---

(1) Perhatikan bahwa saya di sini berbicara tentang kontrol kuantum hanya karena itu adalah istilah yang digunakan di koran. Jika ini bukan istilah yang paling cocok untuk digunakan untuk merujuk pada masalah seperti ini, beri tahu saya.

Selain itu, perhatikan juga bahwa masalah yang diselesaikan di koran sedikit berbeda dari yang saya nyatakan di sini. Secara khusus, Hamiltonian mereka anggap benar-benar bertindak dalam ruang tiga qudit empat- dimensi, dan Toffoli hanya diimplementasikan sebagai dinamika yang efektif di tingkat yang lebih rendah dari setiap ququart. Saya juga oke dengan hasil semacam ini tentunya.

Ada konsep kemampuan kontrol dari sistem kuantum, yaitu apakah serangkaian kontrol yang diberikan memungkinkan Anda untuk membuat negara bagian atau kesatuan? Biasanya ini dihitung dengan melihat Aljabar Kebohongan sistem, dan bisa sangat berantakan; Anda perlu mengambil ketentuan Hamiltonian individu yang dapat Anda kontrol, dan menghitung semua komutator mereka untuk pesanan sewenang-wenang. Jika Anda dapat mengambil kombinasi linear dari itu dan membuat Hamiltonian yang sewenang-wenang, maka ruang Hilbert penuh Anda dapat dikontrol; Anda dapat membuat kesatuan apa pun yang Anda inginkan, dan setiap status kuantum dikatakan dapat dijangkau dari yang lain. Lihat Kontrol lengkap sistem kuantum (PRA 2001) untuk contoh.

Namun, satu poin penting untuk ditekankan adalah bahwa ini tidak memberi tahu Anda apa-apa tentang efisiensi, yaitu berapa lama waktu yang diperlukan untuk mencapai kondisi tertentu (sebagai fungsi dari ukuran sistem). Ada konstruksi eksplisit yang dapat Anda buat berdasarkan dekomposisi di atas dalam hal komutator, tetapi waktu yang dibutuhkan timbangan secara eksponensial sesuai dengan urutan komutator yang diperlukan. Teknik numerik teori kontrol adalah metode yang berupaya menemukan bidang kontrol yang diperlukan (sebagai fungsi waktu) dengan cara yang lebih efisien, tetapi (sepengetahuan saya) jarang memberi Anda jaminan. Jadi, jika Anda telah memperbaiki dan dibatasi , konsep mungkin tidak cukup.$\Theta$$c_k(t)$

Kontrol kuantum tidak selalu memungkinkan penerapan sembarang gerbang. Bayangkan kontrol Anda terhadap sistem adalah energi yang tergantung waktu. Itu sesuai dengan Hamiltonian . Maka Anda hanya dapat memutar sekitar satu sumbu bola Bloch dan satu-satunya pilihan Anda adalah seberapa cepat untuk memutar kapan. Ini jelas tidak cukup untuk menghasilkan gerbang qubit tunggal yang sewenang-wenang karena dengan begitu Anda harus dapat melakukan rotasi terhadap sumbu (sembarang) apa pun.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

Saya tidak bisa menjawab bagian kedua dari pertanyaan Anda, tentang hasil yang diketahui untuk universalitas. Namun, perhatikan bahwa saya memilih kasus yang sangat khusus untuk menggambarkan bahwa kontrol kuantum sederhana tidak cukup. Bayangkan saya telah memilih Hamiltonian . Ini adalah rotasi konstan sekitar satu sumbu (karena perbedaan energi antara dua status qubit tunggal yang terlibat) ditambah rotasi yang Anda kontrol penuh tentang sumbu ortogonal. Karena Anda dapat menghasilkan rotasi sewenang-wenang dengan kombinasi yang sesuai dari rotasi tersebut, ini bersifat universal (untuk sistem qubit tunggal). Ini adalah upaya saya untuk menggambarkan bahwa tidak memiliki kontrol universal jika Anda memiliki kontrol apa pun dapat dilihat sebagai kasus khusus daripada aturan.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$$E_0$