Alternatif untuk bola Bloch untuk mewakili qubit tunggal

Untuk merepresentasikan qubit tunggal kita menggunakan vektor kesatuan dalam ruang Hilbert yang (salah satu) basis ortonormalnya adalah (| 0 \ rangle, | 1 \ rangle) .$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Kita bisa menggambar menggunakan bola Bloch . Namun, saya menemukan notasi ini cukup membingungkan, karena vektor ortogonal adalah antiparalel spasial ( penjelasan singkat dalam pertanyaan Fisika Stackexchange ini ).$|\psi\rangle$

Apakah Anda tahu representasi grafis yang berbeda untuk qubit tunggal?

Di tautan yang disertakan dalam pertanyaan Anda, tentang pertanyaan lain yang ditulis oleh pengguna098876, "Memahami bola Bloch", Daniel membuat komentar yang bermanfaat:

"Menggambar titik pada bola untuk mewakili keadaan sistem dua tingkat kuantum tidak berarti Anda harus menganggap titik-titik itu sebagai vektor nyata dalam ruang 3D. - DanielSank 3 Sep 15 'pukul 20:17".

Penjelasan yang terlalu disederhanakan: Ini adalah pesawat dua sisi (atau dua pesawat) yang diproyeksikan pada sebuah bola.

"Saya menemukan notasi ini cukup membingungkan, karena vektor ortogonal adalah antiparalel spasial ( penjelasan singkat dalam pertanyaan Fisika Stackexchange ini ). Apakah Anda tahu representasi grafis yang berbeda untuk qubit tunggal?"

Ada sejumlah upaya yang sedang dilakukan untuk memberikan representasi yang lebih umum yang memanjang dari qubit ke qudit. Penjelasan dan representasi ini menggunakan sphere Majorana tidak begitu berbeda , ini masih sphere, tapi mungkin kurang membingungkan:

Untuk qubit pada bola Majorana lihat: " N-qubit menyatakan sebagai titik pada bola Bloch ".

"Abstrak. Kami menunjukkan bagaimana representasi Majorana dapat digunakan untuk mengekspresikan keadaan murni dari sistem N-qubit ... Sebagai kesimpulan, representasi Majorana berguna ketika partikel spin- dipelajari, sedangkan representasi alternatif lebih disukai ketika status sistem qubit dibahas. Selain membantu memvisualisasikan status qubit dan cara mereka mentransformasikannya dalam rotasi dan operasi lainnya, representasi yang terakhir juga dapat membantu mengidentifikasi beberapa negara -qubit khusus , seperti yang dilakukan perwakilan Majorana di konteks spinor kondensat Bose-Einstein. "$S$$N$$N$$N$

Lihat: " Representasi Majorana, ruang qutrit Hilbert dan implementasi NMR dari gerbang qutrit ":

Halaman 1:

"Bola Bloch memberikan representasi keadaan kuantum dari qubit tunggal ke (unit bola dalam tiga dimensi nyata), dengan keadaan murni dipetakan ke permukaan dan keadaan campuran terletak di interior. Representasi geometris ini berguna dalam memberikan visualisasi keadaan kuantum dan transformasi mereka, khususnya dalam kasus perhitungan kuantum berbasis NMR, di mana spin-$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$magnetisasi dan transformasi melalui pulsa NMR divisualisasikan pada bola Bloch. Ada beberapa proposal untuk representasi geometris untuk sistem kuantum tingkat yang lebih tinggi, namun ekstensi gambar seperti bola Bloch ke putaran yang lebih tinggi tidak mudah. Sebuah representasi geometris diusulkan oleh Majorana di mana, keadaan murni spin ' ' diwakili oleh '2 ' titik-titik pada permukaan bola satuan, disebut lingkup Majorana.$s$$_s$

The Majorana representasi untuk sistem telah menemukan aplikasi luas seperti menentukan fase geometris spin, mewakili N spinors oleh N poin, representasi geometris multi-qubit terjerat negara, statistik sistem dinamis kuantum kacau dan karakteristik cahaya terpolarisasi. Qutrit tunggal (sistem kuantum tiga tingkat) sangat penting khususnya dalam skema komputasi kuantum berbasis dudit ( d -level quantum) . Qutrit adalah sistem terkecil yang menunjukkan fitur kuantum inheren seperti kontekstualitas, yang telah diperkirakan sebagai sumber daya untuk komputasi kuantum . Komputasi kuantum qudit NMR dapat dilakukan dengan menggunakan inti dengan spin s>$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$atau dapat dimodelkan oleh dua atau lebih inti spin- digabungkan . Dalam karya ini kami menggunakan deskripsi sphere Majorana dari qutrit tunggal, di mana status qutrit diwakili oleh sepasang titik pada unit sphere, untuk memberikan wawasan ke dalam ruang status qutrit.$\frac{1}{2}$

Halaman 5:

Besarnya vektor magnetisasi$\vert-$$\vec{M}$dalam ansambel murni qutrit tunggal dapat mengasumsikan nilai dalam rentang[0,1]. Sebaliknya, ansambel murni qubit selalu memilikisatuan satuanvektor magnetisasi yang terkait dengannya$\vert$$[0,1]$. Gambar geometris vektor magnetisasi qutrit tunggal disediakan oleh representasi Majorana. Nilai → M | tergantung pada panjang dari garis bagiOO′dan terletak di sepanjang$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-aksis dan berubah secara invarian. Jadi sesuai dengan nilai tertentu dari panjang garis-bagi, seseorang dapat mengasumsikan bola konsentris dengan jari-jari yang terus bervariasi, yang permukaannya merupakan permukaan magnetisasi konstan. Jari-jari bola ini sama dengan → M | , yang bervariasi dalam kisaran [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Halaman 10:

SIMPULAN PENUTUP

Representasi geometrik qutrit dijelaskan dalam karya ini, di mana status qutrit diwakili oleh dua titik pada unit sphere sesuai dengan representasi Majorana. Sebuah parameterisasi negara tunggal qutrit diperoleh untuk menghasilkan negara yang sewenang-wenang dari keluarga satu-parameter dari negara kanonik melalui aksi transformasi. Vektor magnetisasi spin- 1 diwakili pada bola Majorana dan negara diidentifikasi sebagai 'menunjuk' atau 'tidak menunjuk' tergantung pada nilai nol atau tidak nol dari magnetisasi putaran. Transformasi yang dihasilkan oleh aksi S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$generator juga diintegrasikan ke dalam gambar geometris Majorana. Tidak seperti qubit, dekomposisi gerbang quantum qutrit tunggal dalam hal pulsa frekuensi radio tidak mudah dan representasi sphere Majorana menyediakan cara untuk secara geometris menggambarkan gerbang-gerbang ini. Pengamatan dekat dari dinamika titik yang mewakili qutrit pada bola Majorana di bawah aksi berbagai gerbang kuantum digunakan untuk mendapatkan dekomposisi pulsa rf dan gerbang qutrit tunggal dasar secara eksperimental dilaksanakan menggunakan NMR.

ARA. 1. Qutrit pada bola Majorana diwakili oleh dua titik dan P 2 , terhubung dengan pusat bola dengan garis-garis yang ditunjukkan dengan warna merah dan biru. θ 1 , ϕ 1 adalah sudut kutub dan azimut yang sesuai dengan titik P 1 ( θ 2 , ϕ 2 adalah sudut untuk titik P 2 ). (a) Akar dari polinomial Majorana diperlihatkan dalam bidang z = 0 dengan poin P ′ 1 dan P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, yang proyeksi stereografiknya memunculkan representasi Majorana. Tiga contoh ditampilkan sesuai dengan representasi Majorana dari vektor basis qutrit tunggal , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ dan ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . Salah satu titik ditampilkan sebagai lingkaran padat (merah), sedangkan titik lainnya diwakili oleh lingkaran kosong (biru).$(d)\;\vert-1\rangle$

Lihat: " Representasi Majorana dari Serikat Berputar Tinggi " (.PDF) oleh Wheeler (Situs Web) atau " Tomografi Wigner dari keadaan kuantum multispin ":

Seperti apa menggunakan Tomografi - "Dalam makalah ini, kami secara teoritis mengembangkan skema tomografi untuk fungsi bola dari keadaan kuantum multispin yang sewenang-wenang. Kami mempelajari skema eksperimental untuk merekonstruksi representasi Wigner yang digeneralisasi dari operator kepadatan tertentu (mewakili keadaan kuantum campuran atau murni) ). "

Bandingkan dengan kompleksitas lingkup Bloch yang digambarkan dalam: " Representasi Bloch-sphere dari fase geometrik tiga-titik ". Bentuknya sama saja bagaimana Anda memvisualisasikan proyeksi yang digunakan.

Berikut gambar yang kurang sibuk:

Pikirkan bola Bloch yang dipotong menjadi dua oleh selembar kertas yang sangat besar. Di tepi kertas (tanpa batas) setiap titik di bagian atas lembar kertas menarik garis ke (tanpa batas) bagian atas bola (bagian bawah bola untuk bagian bawah lembar). Poin terdekat pusat kertas (campuran negara) menarik garis ke tengah bola. Itu mewakili jarak hingga tak terbatas pada bola kecil, qubit / qudit terbatas sehingga kertasnya tidak terlalu besar.

Sekarang gambar poin pada kertas 2D, gambar garis dari kertas ke bola, keluarkan kertas, dan lihat atau melalui bola bening untuk melihat titik akhir lain dari garis.

Penjelasan yang jauh lebih akurat dan sulit ditawarkan dalam tautan di atas.

Menambahkan ke apa yang disampaikan oleh @pyramids dalam jawaban mereka :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Sekarang, dengan menggunakan koordinat Hopf katakanlah:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

Jadi kita berakhir dengan:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

Secara matematis, tidak mungkin mengurangi derajat kebebasan lebih jauh, dan, saya katakan, tidak ada representasi geometris "lebih efisien" dari qubit tunggal selain bola Bloch.

_{Sumber: Wikipedia: Bloch_Sphere}

Bola Bloch secara historis muncul untuk menggambarkan spin di mana naik dan turun sebenarnya dapat dipandang sebagai (anti) paralel daripada (secara matematis) ortogonal.

Anda dapat secara alami (dan mungkin lebih alami!) Menggambarkan keadaan qubit sedemikian rupa sehingga keadaan ortogonal memang ortogonal. Kemudian keadaan 1-qubit murni menempati titik pada permukaan bola 4 dimensi.

(Pertama, persyaratan "poin reputasi" bodoh - pernyataan ini harus berupa komentar pada pos sebelumnya.)

Sebuah qubit tunggal dalam keadaan murni memiliki 2 derajat kebebasan nyata, bukan 3, ketika Anda memberi hasil baik besarnya dan fase (yaitu, normalisasi kompleks). Jadi, permukaan dua dimensi yang paling masuk akal dapat digunakan (misalnya, 2-bola atau apa pun yang setara secara topologi).

Menemukan representasi yang bermanfaat adalah cerita lain. Bola Bloch memiliki ekstensi alami ke negara campuran (yang memiliki 3 derajat kebebasan), sedangkan ini tampaknya tidak terjadi sebaliknya.