Mengapa penting bahwa Hamiltonian awal tidak bolak-balik dengan Hamiltonian akhir dalam perhitungan kuantum adiabatik?

19

Saya sudah membaca di berbagai sumber dan buku tentang adiabatik komputasi kuantum (AQC) yang sangat penting untuk awal Hamiltonian untuk tidak bolak-balik dengan akhir Hamiltonian , yaitu . Tapi saya belum pernah melihat argumen mengapa ini sangat penting. $\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$ $\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Jika kita asumsikan waktu ketergantungan linear Hamiltonian dari AQC adalah mana adalah skala waktu adiabatik.

\hat{H} (t) = (1 - \frac{t}{τ}) {\hat{H}}_{i} + \frac{t}{τ} {\hat{H}}_{f}, (0 \leq t \leq τ)

$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$

τ

$\tau$

Jadi pertanyaan saya adalah: Mengapa penting bahwa Hamiltonian awal tidak bolak-balik dengan Hamiltonian akhir?

annealing adiabatic-model

— Turbotanten
sumber

13

Dalam QC adiabatik, Anda menyandikan masalah Anda dalam Hamiltonian sehingga hasil Anda dapat diekstraksi dari keadaan dasar. Mempersiapkan keadaan dasar itu sulit dilakukan secara langsung, jadi Anda malah menyiapkan kondisi dasar seorang Hamilton yang 'mudah', dan kemudian perlahan-lahan menginterpolasi keduanya. Jika Anda berjalan cukup lambat, kondisi sistem Anda akan tetap pada kondisi dasar. Di akhir proses Anda, Anda akan memiliki solusinya.

Ini bekerja sesuai dengan teorema Adiabatik . Untuk memegang teorema, harus ada kesenjangan energi antara keadaan dasar dan keadaan tereksitasi pertama. Semakin kecil jarak jeda, semakin lambat Anda harus melakukan interpolasi untuk mencegah pencampuran antara kondisi dasar dan kondisi tereksitasi pertama. Jika celah tertutup, pencampuran seperti itu tidak dapat dicegah, dan Anda tidak bisa berjalan cukup lambat. Prosedur gagal pada saat itu.

Jika Hamiltonian awal dan terakhir bepergian, itu berarti mereka memiliki status energi yang sama. Jadi mereka sepakat negara mana yang mendapatkan energi, dan hanya tidak setuju pada energi yang mereka dapatkan. Interpolasi antara dua Hamiltonians hanya mengubah energinya. Karenanya kondisi dasar terakhir akan menjadi kondisi tereksitasi di awal, dan kondisi dasar asli menjadi bersemangat di akhir. Pada titik tertentu, ketika melewati satu sama lain, energi dari kondisi ini akan sama, sehingga kesenjangan di antara mereka akan berakhir. Ini cukup untuk melihat bahwa celah energi harus ditutup di beberapa titik.

Oleh karena itu, memiliki warga Hamilton yang tidak bepergian adalah kondisi yang diperlukan untuk menjaga agar celah tetap terbuka, dan karenanya untuk AQC.

— James Wootton
sumber

1

Ini terdengar sangat meyakinkan dan jelas. Bolehkah Anda menjelaskan secara eksplisit mengapa tidak mungkin ada persinggungan yang dihindari selama evolusi adiabatik (yang akan memungkinkan sifat dasar keadaan berubah tetapi tanpa kemunduran)?

— agaitaarino

4

Jika dua matriks (dalam hal ini, Hamiltonians) bepergian, mereka memiliki vektor eigen yang sama. Jadi, jika Anda menyiapkan keadaan dasar Hamiltonian pertama, maka itu (secara kasar) akan tetap menjadi status eigen di seluruh evolusi adiabatik, dan Anda mendapatkan apa yang Anda masukkan. Tidak ada nilai untuk itu.

Jika Anda ingin menjadi sedikit lebih ketat, maka bisa jadi Hamiltonian awal Anda mengalami degenerasi yang diangkat oleh Hamiltonian kedua, dan Anda mungkin berharap menyebabkan sistem berevolusi menjadi keadaan dasar yang unik. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa kemunduran terangkat segera ada jumlah yang tidak nol dari Hamiltonian kedua. Apa pun efeknya dapat memiliki efek instan. Saya percaya bahwa Anda tidak mendapatkan evolusi adiabatik yang tepat. Alih-alih, Anda harus menulis status awal Anda sebagai superposisi dari status eigen baru, dan ini mulai berkembang seiring waktu, tetapi Anda tidak pernah meningkatkan tumpang tindih negara Anda dengan negara target (keadaan dasar).

— DaftWullie
sumber

Hanya ingin tahu apakah pernyataan pertama Anda benar. Sebagai contoh, ambil matriks Identity, itu akan mengubah setiap orang Hamilton. Tetapi tentunya tidak ada alasan bagi matriks identitas untuk memiliki vektor eigen yang sama dengan Hamiltonian yang sewenang-wenang.

— Turbotanten

Anda dapat menguraikan banyak identitas dalam basis apa pun , termasuk basis Hamiltonian. Tapi intinya adalah itu sangat merosot, jadi Anda berbicara tentang paragraf kedua saya.

— DaftWullie

3

$\sigma^Z$ $t$ = 0) akan menjadi klasik juga, bukan superposisi dari semua bitstring yang mungkin.

Selain itu, bahkan melampaui batas ketat AQC (misalnya anil sistem kuantum terbuka, QAOA, dll.) Jika mengemudi Hamiltonian pergi maka tidak dapat mendorong transisi antara kondisi eigen dari masalah Hamiltonian tetapi hanya mengubah fase amplitudo dalam fungsi gelombang. ; dan Anda menginginkan driver yang dapat menginduksi spin-flips untuk menjelajahi ruang pencarian.

— Davide Venturelli
sumber

1

$H_i$ $H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

Vektor eigen dengan nilai eigen terendah (yaitu keadaan dasar) dari $H_i$ adalah $|1\rangle$ jadi kita mulai dalam kondisi ini. Keadaan dasar dari $H_f$ adalah $|0\rangle$ jadi ini yang kita cari.

Ingat runtime minimum untuk AQC untuk memberikan jawaban yang benar dalam suatu kesalahan $\epsilon$ :
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$ .

Ini diberikan dan dijelaskan dalam Persamaan. 2 dari Tanburn et al. (2015) .

Katakanlah kita mau $\epsilon = 0.1$ .
Notice that $||H_i - H_f||^2 = 0.1$ according Eq. 4 of the same paper.
Notice that $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ (I've chosen $\epsilon$ so that this would happen, but it doesn't matter).
We now have $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

So what is the minimum gap between ground and first excited state (which gives the $\max_t$ ) ?
When $t=20\tau/29$ , the Hamiltonian is:

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

So when $t=\frac{20}{29}\tau$ , we have $E_{\rm{gap}}=0$ and the lower bound on $\tau$ is essentially $\infty$ .

So the adiabatic theorem still applies, but when it states that the Hamiltonian needs to change "slowly enough", it turns out it needs to change "infinitely slowly", which means you will not likely ever get the answer using AQC.

— user1271772
sumber

Thanks! I like the example. Though that's a new expression of the minimum runtime that I've never seen before. Usually in the literature the adiabatic condition is given by

τ ≫ \frac{max_{0 \leq s \leq 1} | ⟨ ψ_{1} (s) | \frac{d \hat{H} (s)}{d s} | ψ_{0} (s) ⟩ |}{min_{0 \leq s \leq 1} Δ^{2} (s)}; s \equiv \frac{t}{τ}

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$ where

Δ^{2} (s) = (E_{1} (s) - E_{0} (s))^{2}

$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$ . See Ref [1] & [2]

— Turbotanten

@Turbotanten: Thanks for the bounty. My proof works whether we use 1/gap^2 or 1/gap^3. In both cases gap=0 means runtime = infinity. In your expression, we can just have "max_s" on the outside, then we don't need "min_s" in the denominator. Also reference 2 of the Tanburn paper that I linked to, gives the gap^3 formula, which is a slightly tighter bound than the gap^2 formula. It is still popular to use the (slightly looser bound of) gap^2, mainly because some people haven't seen the recent literature on gap^3.

— user1271772