Mengapa gerbang kuantum menyatu dan bukan kesatuan khusus?

11

Mengingat bahwa fase global dari keadaan tidak dapat dilihat secara fisik, mengapa sirkuit kuantum diringkas dalam satuan kesatuan dan bukan kesatuan kesatuan khusus? Satu jawaban yang saya dapatkan adalah itu hanya untuk kenyamanan tetapi saya masih ragu.

Pertanyaan yang terkait adalah ini: apakah ada perbedaan dalam implementasi fisik kesatuan $U$ (matriks matematika) dan , katakanlah dalam hal beberapa gerbang dasar? Misalkan tidak ada (yang merupakan pemahaman saya). Maka implementasi fisik dan harus sama (cukup tambahkan kontrol ke gerbang dasar). Tapi kemudian saya masuk ke dalam kontradiksi bahwa dan dari dua kesatuan ini mungkin tidak setara hingga fase (seperti matriks matematika), jadi sepertinya masuk akal mereka sesuai dengan implementasi fisik yang berbeda . $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$

Apa yang saya lakukan salah dalam alasan saya di sini, karena ini menunjukkan bahwa sekarang dan harus diimplementasikan secara berbeda walaupun mereka setara hingga fase? $U$ $V$

Pertanyaan lain yang terkait (sebenarnya asal kebingungan saya, saya akan sangat berterima kasih atas jawaban untuk yang satu ini): tampaknya seseorang dapat menggunakan rangkaian kuantum untuk memperkirakan baik modulus maupun fase kompleks yang tumpang tindih (lihat https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Tapi bukankah ini menyiratkan lagi bahwa dan berbeda secara terukur? $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— Sial
sumber

Secara filosofis lebih akurat untuk mengatakan kelompok kesatuan proyektif

sebagai gantinya. Itu karena operasi adalah untuk mengambil matriks kesatuan yang sewenang-wenang dan kehilangan fase vs subset yang fase itu adalah

. Peta pergi

sehingga mereka berada di sisi yang berlawanan dari panah.

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain

@ Yahusain Yang mana "Petanya"? Dalam hal quotienting keluar, ia akan pergi

.

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— Norbert Schuch

Tidak. SU adalah himpunan bagian dengan determinan 1, sehingga termasuk dengan peta ke dalam U. PU adalah hasil bagi. Anda dapat mengambil unitary proyektif dan memberikan perwakilan di SU dengan determinan 1, tetapi itu tidak otomatis.

— AHusain

9

Bahkan jika Anda hanya membatasi diri untuk operasi unitary khusus, negara akan tetap mengakumulasi fase global. Sebagai contoh, adalah unitary khusus tetapi . $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Jika negara akan menumpuk fase global yang tidak teramati lagian , apa manfaat yang kita dapatkan dari membatasi diri untuk operasi kesatuan khusus?

Adakah perbedaan dalam implementasi fisik kesatuan (matriks matematika) dan , katakanlah dalam hal beberapa gerbang dasar? $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

Selama Anda tidak melakukan apa pun yang dapat membuat fase global menjadi relevan, mereka dapat memiliki implementasi yang sama. Tetapi jika Anda akan melakukan sesuatu seperti, uh-

tambahkan kontrol ke gerbang dasar

Ya seperti itu. Jika Anda melakukan hal-hal seperti itu, maka Anda tidak dapat mengabaikan fase global. Kontrol mengubah fase global menjadi fase relatif. Jika Anda ingin sepenuhnya mengabaikan fase global, Anda tidak dapat memiliki pengubah operasi "kotak kontrol" kotak hitam.

— Craig Gidney
sumber

Terima kasih, tetapi tidak ada pengubah "tambah kontrol" yang ada untuk gerbang dalam rangkaian gerbang universal dan Anda dapat menguraikan

dan

ke dalam gerbang ini untuk menambah kontrol, misalnya c-

adalah gerbang CNOT.

U

$U$

V

$V$

X

$X$

— dcw

1

@Daochen Ya Anda bisa melakukan itu, tapi itu bukan contoh menambahkan kontrol sambil mengabaikan fase global sub-operasi. Anda harus secara eksplisit memutuskan fase global dari sub-operasi ketika memutuskan apa yang harus dilakukan operasi terkontrol secara keseluruhan dan bagaimana menguraikannya.

— Craig Gidney

8

Fakta bahwa gerbang kuantum adalah kesatuan, berakar pada kenyataan bahwa evolusi sistem kuantum (tertutup) adalah dengan persamaan Schrödiner. Untuk interval waktu di mana kami mencoba untuk mewujudkan transformasi kesatuan tertentu pada tingkat yang konstan, kami menggunakan persamaan Schrödinger independen waktu:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{saya ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

$H$ $H$

| ψ (t) ⟩ = \exp (- saya H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ . Jadi, dari sebuah matriks dengan nilai eigen nyata, kita mendapatkan matriks yang nilai eigennya adalah bilangan kompleks dengan satuan norma.

$1$ $1$ $H$ $H$ jumlah nilai eigennya sama dengan nol tergantung pada bagaimana Anda memutuskan untuk menentukan titik nol energi Anda - yang pada dasarnya merupakan pilihan kerangka acuan yang subyektif. (Khususnya, jika Anda memutuskan untuk mengadopsi konvensi bahwa semua tingkat energi Anda adalah non-negatif, ini menyiratkan bahwa tidak ada sistem yang menarik yang akan memiliki properti dari nilai-nilai eigen energi yang berjumlah nol).

Singkatnya, gerbang adalah kesatuan daripada kesatuan kesatuan khusus, karena penentu gerbang tidak sesuai dengan sifat yang bermakna secara fisik - dalam arti eksplisit bahwa gerbang muncul dari fisika, dan kondisi yang sesuai dengan penentu gerbang adalah 1 adalah kondisi kerangka referensi sendiri dan bukan dinamika fisik.

— Niel de Beaudrap
sumber

4

Ketika menulis gerbang untuk, misalnya, diagram sirkuit kuantum, Anda selalu bisa menulisnya menggunakan konvensi memiliki satu determinan (dari grup kesatuan khusus), tetapi itu hanya konvensi. Tidak ada perbedaan fisik pada rangkaian yang Anda implementasikan. Seperti yang dikatakan di tempat lain , apakah yang Anda hasilkan secara langsung berkorespondensi langsung dengan kesatuan khusus benar-benar merupakan pilihan konvensi, dan di mana Anda menentukan energi Anda.

$U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— DaftWullie
sumber

0

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— pengguna1271772
sumber