Urutan terpendek dari gerbang kuantum universal yang sesuai dengan kesatuan yang diberikan

9

Pertanyaan: Diberikan matriks kesatuan yang bekerja pada qubit, dapatkah kita menemukan urutan terpendek dari gerbang Clifford + T yang sesuai dengan kesatuan itu? $n$

Untuk latar belakang pertanyaan, dua referensi penting:

Sintesis yang tepat dan cepat dari kesatuan unit qubit tunggal yang dihasilkan oleh Clifford dan gerbang T oleh Kliuchnikov, Maslov, dan Mosca
Sintesis yang tepat dari sirkuit multiqubit Clifford + T oleh Giles dan Selinger.

circuit-construction universal-gates gate-synthesis

— pengguna120404
sumber

3

Selamat datang! Saya menambahkan dua referensi tentang topik untuk konteks. Harap putar kembali atau koreksi jika tidak memadai. Selain itu, jika lebih banyak rincian dapat ditambahkan ke pertanyaan itu akan sangat bagus :)

— agaitaarino

9

$\exp(n)$ $n$

Saya berasumsi Anda mengacu pada dekomposisi yang tepat. Jika Anda menginginkan perkiraan dekomposisi, ada beberapa metode untuk itu, seperti dekomposisi Trotter-Suzuki, atau mendekati dekomposisi yang tepat.

"Compiler quantum csd" di Qubiter melakukan dekomposisi yang tidak dioptimalkan dari setiap n qubit unitary menjadi cnots dan rots qubit tunggal menggunakan subrutin csd (Cosine-Sine Decomposition) yang terkenal dari LAPACK. Beberapa orang yang giat dapat mencoba mencari optimasi untuk kompilator kuantum Qubiter. Anda dapat menggunakan kompiler Qubiter, misalnya (saya menulis makalah tentang ini), untuk membiarkan komputer klasik Anda menemukan kembali dekomposisi kuantum Fourier Transform Coppersmith!

Qubiter adalah open source dan tersedia di github (pengungkapan penuh - saya menulisnya).

— rrtucci
sumber

Apakah dekomposisi juga tidak bisa dilakukan untuk kesatuan yang hanya terdiri dari multiplikasi gerbang clifford? Saya mencari untuk membangun generator rangkaian acak, dan saya ingin memasukkan lapisan inversi setelah gerbang acak, untuk berakhir dengan keadaan deterministik (dalam hal ini, sama dengan awal). Namun, alih-alih hanya mencerminkan rangkaian, saya bertanya-tanya apakah mungkin untuk secara efisien menghitung lapisan inversi jika rangkaian input hanya terdiri dari Cliffords?

— Kelthar

4

Misalkan sintesis yang tepat dimungkinkan untuk kesatuan Anda yang disediakan (jumlah batasan teoretis pada entri) dan karenanya algoritma yang dijelaskan dalam pertanyaan memberi Anda urutan gerbang Clifford + T yang mengimplementasikan kesatuan itu. Sebagaimana dinyatakan dalam kertas Giles-Selinger, Anda mendapatkan urutan yang sangat jauh dari optimal. Jadi pada titik ini Anda telah mengurangi masalah kata dalam grup yang dihasilkan oleh set gerbang Clifford + T. Beberapa grup memiliki algoritme untuk mempersingkat kata yang diberikan sementara masih mewakili elemen yang sama dari grup menjadi bentuk normal yang terpendek dalam kelas itu. Yang lain tidak.

$2$ $S_1$ $1$ $CNOT_{12}$ $1$ $S_i^4=1$ $X_i Y_j = Y_j X_i$ $i \neq j$ $S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ $S_1 S_2 = S_2 S_1$ $S_1^4=1$ $S_2$ sebagai kata pendek yang mewakili elemen grup yang sama. Untuk presentasi grup tertentu, seseorang akan menginginkan algoritma yang mengambil kata sembarang dan menguranginya. Secara umum ini tidak mungkin.

Penafian untuk di bawah ini: Proyek yang akan datang / implementasi bersama Haskell bersama Jon Aytac.

$r_i$ $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$ . Itu adalah grup Coxeter terkait dengan set gerbang Clifford + T, tetapi dengan masalah kata yang dapat dipecahkan secara efisien. Jadi seseorang dapat mengambil hasil dari algoritma Giles-Selinger dan berpotensi memperpendeknya hanya dengan menggunakan hubungan yang sangat sederhana ini (setelah melihat segmen dengan hanya huruf involusi). Bahkan setiap algoritma yang mengambil unitary tertentu dan mendekati atau tepatnya mensintesisnya ke dalam Clifford + T dapat dimasukkan ke dalam prosedur ini untuk berpotensi memperpendeknya sedikit.

— Lagi pula
sumber