Apakah bertindak dengan peta positif pada keadaan bukan bagian dari sistem yang lebih besar diperbolehkan?

Dalam komentar untuk pertanyaan yang saya ajukan baru-baru ini, ada diskusi antara user1271772 dan saya sendiri tentang operator positif.

Saya tahu bahwa untuk operator pengawet jejak positif (misalnya transpos parsial) jika bekerja pada keadaan campuran maka meskipun adalah matriks kerapatan yang valid, ia mengangkut matriks kerapatan sistem itu. terjerat ke - maka ini bukan operator yang valid. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Komentar ini dan komentar user1271772 membuat saya berpikir. bekerja pada keadaan yang bukan bagian dari sistem yang lebih besar memang memberikan matriks kepadatan yang valid dan tidak ada sistem yang terkait terjerat untuk membersihkannya. $\Lambda$

Pertanyaan saya adalah, oleh karena itu: Apakah operasi semacam itu diperbolehkan (yaitu tindakan peta positif pada keadaan yang bukan bagian dari sistem yang lebih besar). Jika tidak, mengapa tidak? Dan jika demikian, apakah benar bahwa setiap peta positif dapat diperluas ke peta yang benar-benar positif (mungkin nontrivial)?

— Spagettifikasi kuantum
sumber

Mengenai kalimat terakhir dari pertanyaan, mungkin bermanfaat untuk dicatat bahwa setiap peta linear dari matriks kuadrat ke matriks kuadrat, terlepas dari positif atau sepenuhnya positif, secara unik ditentukan oleh aksinya pada matriks kepadatan keadaan murni (hanya karena matriks kepadatan keadaan murni mencakup ruang semua matriks). Jadi, tidak ada cara untuk "memperluas" peta semacam itu untuk membuatnya benar-benar positif tanpa mengubah aksinya pada keadaan murni.

Λ

$\Lambda$

— John Watrous

Mengapa transpos parsial yang bekerja pada keadaan murni akan memberikan matriks kerapatan yang valid? Atau apakah Anda hanya bermaksud "bertindak berdasarkan kondisi yang bukan bagian dari sistem yang lebih besar"? (Yang pertama tampaknya tidak masuk akal - peta apa pun akan "lebih positif" di negara campuran daripada di negara murni. Yang terakhir hanya disebut "peta positif".)

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch yang saya maksudkan "bertindak pada kondisi yang bukan bagian dari sistem yang lebih besar" - apakah ini bukan satu dan sama dengan keadaan murni?

— Spagetifikasi kuantum

@ Quantumspaghettification No. (Yah, itu sedikit masalah kepercayaan, tapi cara itu diutarakan itu sangat menyesatkan berkaitan dengan bahasa yang biasa. Saya harus membacanya beberapa kali untuk menebak apa yang Anda maksud. Saya akan menyarankan untuk ulangi dengan tepat

— Norbert Schuch

@Quantumspaghettification: Keadaan murni. Kalau tidak (yaitu, pangkat adalah ): keadaan campuran. Pada salah satu dari mereka, transpos menghasilkan positif . Hanya jika kita menerapkan ke keadaan yang lebih besar (baik murni atau campuran), kita memperoleh keadaan non-postive.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Norbert Schuch

Jawaban:

Setiap peta yang tidak Sepenuhnya Positif, Pelestarian Jejak (CPTP), tidak mungkin sebagai "operasi yang diizinkan" (akun yang lebih atau kurang lengkap tentang bagaimana beberapa sistem berubah) dalam mekanika kuantum, terlepas dari status apa yang dimaksudkan untuk bertindak berdasarkan.

Batasan peta menjadi CPTP berasal dari fisika itu sendiri. Transformasi fisik pada sistem tertutup adalah kesatuan, sebagai hasil dari persamaan Schrödinger. Jika kami mengizinkan kemungkinan untuk memperkenalkan sistem bantu, atau mengabaikan / kehilangan sistem bantu, kami memperoleh peta CPTP yang lebih umum, yang dinyatakan dalam bentuk pelebaran Stinespring. Di luar ini, kita harus mempertimbangkan peta yang mungkin terjadi hanya dengan kemungkinan kegagalan yang signifikan (seperti halnya dengan pasca pemilihan). Ini mungkin salah satu cara untuk menggambarkan "ekstensi" untuk peta non-CPTP ke peta CPTP - merekayasanya sehingga dapat digambarkan sebagai hal yang provokatif dengan beberapa probabilitas, dan sesuatu yang tidak menarik dengan kemungkinan kemungkinan lebih besar;

Pada tingkat yang lebih tinggi - sementara kita dapat menganggap keterikatan sebagai fenomena aneh, dan dalam beberapa cara khusus untuk mekanika kuantum, hukum mekanika kuantum sendiri tidak membuat perbedaan antara keadaan terjerat dan keadaan produk. Tidak ada arti di mana mekanika kuantum halus atau sensitif terhadap keberadaan korelasi nonlokal belaka (yang merupakan korelasi dalam hal-hal yang kitaprihatin dengan), yang akan membuat tidak mungkin beberapa transformasi pada negara terjerat hanya karena mungkin menghasilkan hasil yang memalukan. Entah suatu proses tidak mungkin - dan khususnya tidak mungkin pada keadaan produk - atau itu mungkin, dan rasa malu tentang hasil untuk negara terjerat adalah milik kita, karena kesulitan dalam memahami apa yang telah terjadi. Apa yang istimewa tentang keterjeratan adalah cara ia menantang prakonsepsi kita yang termotivasi secara klasik, bukan bagaimana negara yang terjerat sendiri berevolusi dalam waktu.

— Niel de Beaudrap
sumber

Apa hukum fisika yang mengharuskan subsistem alam semesta harus berevolusi dengan cara ini? Jika kita hanya berasumsi bahwa alam semesta berevolusi sesuai dengan persamaan Schroedinger, dapatkah kita membuktikan bahwa semua subsistem harus berevolusi dengan cara CPTP? Saya belum pernah melihat bukti seperti itu, dan yang lain setuju: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Saya mengajukan pertanyaan di sini: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

Setelah lebih banyak membaca, saya telah menemukan contoh tandingan untuk klaim Anda bahwa dinamika harus CPTP. Ketika matriks kepadatan awal diberikan oleh Persamaan. 6 dari sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , dan Hamiltonian diberikan dalam paragraf yang sama, mengarah ke matriks kepadatan "total" di mana matriks kepadatan subsistem di mana matriks kepadatan subsistem bahkan tidak positif. Ide kuncinya adalah bahwa sistem dan pemandiannya terjerat bahkan pada saat . Saya percaya Anda harus mengasumsikan tidak ada keterikatan antara sistem dan mandi di untuk memaksa CPTP dengan cara Choi atau cara Alicki.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: jika Anda tidak diizinkan untuk menganggap tidak ada keterikatan antara sistem dan pemandian, maka dalam hal apa bahkan lebih berarti untuk mempertimbangkan peta pada sistem saja? Keterikatan yang sudah ada membuat ide bahwa kita bahkan mencoba untuk memberikan "akun lengkap lebih atau kurang lengkap" tentang bagaimana sistem berkembang. Dan --- akhirnya --- jika operator subsistem bahkan tidak positif, bagaimana kita menafsirkan kemungkinan memperoleh probabilitas negatif (atau probabilitas supernormalisasi) dari beberapa status eigen?

— Niel de Beaudrap

"Ini mungkin salah satu cara untuk menggambarkan" ekstensi "untuk peta non-CPTP ke peta CPTP - merekayasanya sehingga dapat digambarkan sebagai hal yang provokatif dengan beberapa probabilitas, dan sesuatu yang tidak menarik dengan kemungkinan kemungkinan lebih besar" - apakah Anda punya ada contoh untuk itu? Tampak bagi saya bahwa ini kemungkinan akan menghasilkan output yang non-positif, yang tidak mungkin.

— Norbert Schuch

@ Neil: Saya tidak pernah mengatakan Anda tidak diizinkan untuk mengasumsikan tidak ada keterikatan antara sistem dan mandi. Makalah itu mengatakan bahwa argumen yang dibuat untuk peta CPTP oleh Choi dan Alicki sama-sama tidak memiliki korelasi awal, kemudian memberikan contoh bagaimana OQS yang awalnya berkorelasi dengan bak mandi, dapat memiliki evolusi non-positif ketika sistem + bak berevolusi menggunakan dan kemudian bak mandi ditelusuri. Anda mengatakan bahwa ide pra-keterjeratan adalah "omong kosong", tetapi jika Anda mencari "korelasi awal" Anda akan menemukan banyak literatur tentang OQS yang awalnya berkorelasi dengan pemandian mereka.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

— user1271772

Situasi peta yang tidak sepenuhnya positif (atau lebih umum lagi peta yang tidak linier) adalah kontroversial sebagian karena definisi yang tepat tentang bagaimana Anda harus membangun peta . Tetapi mudah untuk memberikan contoh sesuatu yang tampaknya NCP atau bahkan tidak linier.

Peta non linier.

Pertimbangkan perangkat persiapan yang dapat membuat qubit dalam keadaan yang sewenang-wenang (perangkat ini memiliki 3 cepat). Sekarang mari perangkat ini akan dibangun sehingga juga mempersiapkan keadaan kedua di lingkungan. Yaitu, Anda pikir Anda menyiapkan satu qubit negara tetapi sebenarnya Anda siap keadaan dua qubit . Qubit kedua adalah lingkungan (yang tidak dapat Anda akses), jadi jika Anda melakukan tomografi pada qubit Anda, semuanya tampak baik-baik saja. $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

Jangan bayangkan bahwa Anda juga memiliki kotak hitam berikut - ia memiliki (sejauh yang Anda tahu) satu input dan dua output. Pada kenyataannya (tidak diketahui oleh Anda) ini memiliki dua input dan dua output dan hanya memuntahkan qubit sistem dan qubit lingkungan. Sejauh yang Anda tahu, kotak hitam ini adalah mesin kloning, melanggar linearitas.

Mirip dengan ide di atas, tetapi perangkat persiapan menyiapkan (jelas ini bisa dilakukan di laboratorium). Kotak hitam sekarang akan menjadi kotak satu rel (satu input qubit dan satu output qubit sejauh menyangkut pengguna), yang menukar sistem dan lingkungan. Bagi Anda, sepertinya peta trasposisi. $\rho\otimes\rho^T$

Perhatikan bahwa kedua perangkat persiapan bersifat fisik, tetapi cara Anda menyusun peta mungkin bergantung pada cara Anda menggunakannya. Dalam contoh di atas saya berasumsi bahwa keadaan campuran hanya akan dibangun dengan menggunakan tiga cepat dalam mesin. Pada prinsipnya, saya bisa mencoba membangun negara campuran dengan membalik koin dan menyiapkan keadaan murni dengan probabilitas yang tepat. Tomorgraphy akan menunjukkan bahwa prosesnya setara, tetapi lingkungannya akan berbeda, dan peta yang Anda buat untuk kotak hitam akan berbeda. $\rho$

— Aharon Brodutch
sumber

-3

Tidak ada hukum fisika yang menyatakan bahwa kita harus mampu mengembangkan sub-sistem alam semesta dengan sendirinya.

Tidak akan ada cara untuk menguji hukum semacam itu secara definitif.

Matriks kerapatan alam semesta harus memiliki jejak 1 dan positif semi-pasti, dengan definisi matematika probabilitas ¹ . Setiap perubahan di alam semesta harus ^saya pertahankan, untuk alasan matematika dan karena definisi. Jika , Anda belum memasukkan seluruh alam semesta ke dalam . Jika lebih dari 1, atau jika , yang Anda miliki sebenarnya bukan matriks kerapatan, dengan definisi probabilitas ¹ . $\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

Jadi peta: harus ¹ positif dan pelestarian jejak. $\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Untuk kenyamanan, kami ingin memodelkan sub-wilayah alam semesta, dan memperkenalkan kepositifan yang lengkap untuk itu. Tetapi suatu hari suatu eksperimen mungkin datang yang kami rasa tidak mungkin dijelaskan ² , mungkin karena kami telah memilih untuk memodelkan alam semesta dengan cara yang tidak sesuai dengan cara kerja alam semesta sebenarnya.

Jika kita menganggap gravitasi tidak ada, dan secara ajaib kita dapat menghitung apa pun yang kita inginkan, kami percaya bahwa berevolusi menggunakan peta pelestarian jejak positif yang benar , kemudian melakukan penelusuran sebagian di semua bagian alam semesta yang tidak menjadi perhatian, akan memberikan prediksi yang akurat. Memperkenalkan gagasan pemodelan hanya sub-sistem , menggunakan peta CPT, juga sesuatu yang kami yakini akan berhasil, tetapi kami mungkin bertaruh sedikit lebih sedikit pada ini, karena kami telah menambahkan asumsi bahwa sub-sistem berevolusi dengan cara ini, bukan hanya alam semesta secara keseluruhan. $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$

1 : Bahkan hal ini masih dapat diperdebatkan karena hubungan antara fungsi gelombang atau matriks kerapatan dan probabilitas berasal dari postulat mekanika kuantum yang disebut aturan Born, yang hingga kurang dari 10 tahun yang lalu tidak pernah diuji sama sekali, dan masih hanya dikonfirmasi untuk menjadi true dalam, dan untuk sistem tertentu: Jika aturan Born tidak benar, Persamaan. 6 dari ini tidak akan menjadi nol. Untuk menguji apakah aturan Born benar untuk orang tertentu

ϵ

$\epsilon$ sistem (dalam hal ini, foton yang berasal dari sumber tertentu), Anda harus melakukan jumlah instance yang tak terbatas, dari semua 7 percobaan ini, atau menghasilkan cara berbeda untuk menguji aturan Born (dan saya tidak tahu apapun). Pada tahun 2009 kami mempublikasikan pepatah ini bahwa aturan Born benar (untuk sistem ini) hingga dalam yang lebih kecil dari ketidakpastian eksperimental, jadi kami hanya tahu aturan Born benar untuk sistem ini, dan dalam ketepatan yang dibatasi oleh eksperimen .

ϵ

$\epsilon$

2 : Ini sebenarnya sudah menjadi masalah, tetapi mari kita berpura-pura bahwa gravitasi tidak ada dan mekanika kuantum (QED + QFD + QCD) benar, dan kami masih menemukan mustahil untuk menjelaskan sesuatu, walaupun memiliki (entah bagaimana) kekuatan komputer ajaib untuk hitung apa pun yang kita inginkan secara instan.

— pengguna1271772
sumber

Anda mengemukakan teori-teori lapangan, dan di sana gagasan tentang jejak jauh lebih halus. Tapi itu tidak perlu untuk pertanyaan itu. Tidak perlu mengatakan apa pun seperti

T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

— AHusain

@ Yahusain: Pertanyaannya adalah tentang pelestarian jejak peta, yang melibatkan jejak. Pertanyaan itu ditujukan kepada saya. Biarkan saya memutuskan bagaimana saya ingin menjawab pertanyaan itu.

— user1271772

Hanya ingin menunjukkan bahwa ruang Hilbert dimensi terbatas dan tak terbatas memiliki beberapa perbedaan mendasar. Menyatakan berbagai jenis aljabar VonNeumann. Itu semuanya.

— AHusain

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

Jika Anda akan memilih untuk memilih jawaban yang memakan waktu sepanjang pagi (mungkin 3-4 jam?) Untuk menulis dan memformat, apakah tidak adil untuk menjelaskan apa yang tidak Anda sukai tentang itu?

— user1271772