Bagaimana saya menunjukkan bahwa keadaan dua-qubit adalah keadaan terjerat?


18

The Bell state |Φ+=12(|00+|11)adalah sebuah negara terjerat. Tetapi mengapa demikian? Bagaimana saya membuktikannya secara matematis?

Jawaban:


19

Definisi


Status dua-qubit |ψC4 adalah negara terjerat jika dan hanya jika ada tidak ada dua negara satu-qubit |a=α|0+β|1C2 dan |b=γ|0+λ|1C2 sehingga |a|b=|ψ , Di mana menunjukkanproduk tensordanα,β,γ,λC .

Jadi, untuk menunjukkan bahwa negara Bell |Φ+=12(|00+|11)adalah sebuah negara terjerat, kita hanya harus menunjukkan bahwa terdapat ada dua negara satu-qubit|adan|bsehingga|Φ+=|a|b.

Bukti


Seandainya

|Φ+=|a|b=(α|0+β|1)(γ|0+λ|1)

Kita sekarang dapat dengan mudah menerapkan properti distributif untuk mendapatkan

|Φ+==(αγ|00+αλ|01+βγ|10+βλ|11)

Ini harus sama dengan , yaitu, kita harus menemukan koefisiena,β,γdanλ, sehingga12(|00+|11)αβγλ

12(|00+|11)=(αγ|00+αλ|01+βγ|10+βλ|11)

Perhatikan itu, dalam ekspresi , kami ingin menjaga kedua | 00 dan | 11 . Karenanya, α dan γ , yang merupakan koefisien | 00 , tidak dapat menjadi nol; dengan kata lain, kita harus memiliki α 0 dan γ 0 . Demikian pula,αγ|00+αλ|01+βγ|10+βλ|11|00|11αγ|00α0γ0 dan λ , yang merupakan bilangan kompleks yang mengalikan | 11 tidak dapat nol, yaitu ß 0 dan λ 0 . Jadi, semua bilangan kompleks α , β , γ ,dan λ harus berbeda dari nol.βλ|11β0λ0αβγλ

Tapi, untuk mendapatkan status Bell , kami ingin menyingkirkan | 01 dan | 10 . Jadi, salah satu angka (atau keduanya) mengalikan | 01 (dan | 10 ) dalam ekspresi a gamma | 00 + a λ | 01 + ß gamma | 10 + ß λ | 11 , yaitu α dan λ|Φ+|01|10|01|10αγ|00+αλ|01+βγ|10+βλ|11αλ(dan, masing-masing, dan γ ), harus sama dengan nol. Tetapi kita baru saja melihat bahwa α , β , γ , dan λ semuanya harus berbeda dari nol. Jadi, kita tidak dapat menemukan kombinasi bilangan kompleks α , β , γ dan λ sedemikian rupaβγαβγλαβγλ

12(|00+|11)=(αγ|00+αλ|01+βγ|10+βλ|11)

Dengan kata lain, kami tidak dapat mengekspresikan sebagai produk tensor dari dua status satu-qubit. Oleh karena itu, | Φ + adalah keadaan terjerat.|Φ+|Φ+

Kita dapat melakukan bukti serupa untuk negara Bell lain atau, secara umum, jika kita ingin membuktikan bahwa suatu negara terjerat.


2
Wow, Anda menjawab pertanyaan Anda sendiri dengan bukti yang indah dan dapat dimengerti. Bukan sesuatu yang Anda lihat setiap hari. Ini membantu saya, terima kasih.
YungGun

11

Keadaan murni dua qudit dapat dipisahkan jika dan hanya jika itu dapat ditulis dalam bentuk

|Ψ=|ψ|ϕ
untuk sewenang-wenang negara qudit tunggal |ψ dan |ϕ . Kalau tidak, terjerat.

Untuk menentukan apakah keadaan murni terjerat, seseorang dapat mencoba metode brute force untuk mencoba menemukan keadaan yang memuaskan |ψ dan |ϕ , seperti dalam hal ini jawaban. Ini tidak sempurna, dan kerja keras dalam kasus umum. Cara yang lebih mudah untuk membuktikan apakah keadaan murni ini terjerat adalah menghitung matriks densitas tereduksi ρ untuk salah satu qudit, yaitu dengan menelusuri yang lain. Negara dipisahkan jika dan hanya jika ρ memiliki peringkat 1. Kalau tidak terjerat. Secara matematis, Anda dapat menguji kondisi peringkat hanya dengan mengevaluasi Tr(ρ2). Keadaan semula dapat dipisahkan jika dan hanya jika nilai ini adalah 1. Jika tidak, kondisi akan terjerat.

Sebagai contoh, bayangkan seseorang memiliki keadaan murni yang dapat dipisahkan |Ψ=|ψ|ϕ . Kepadatan matriks berkurang pada A adalah

ρA=TrB(|ΨΨ|)=|ψψ|,
Dan
Tr(ρA2)=Tr(|ψψ||ψψ|)=Tr(|ψψ|)=1.
Dengan demikian, kita memiliki negara dipisahkan.

Sementara itu, jika kita ambil |Ψ=12(|00+|11), maka

ρA=TrB(|ΨΨ|)=12(|00|+|11|)=12I
dan
Tr(ρA2)=14Tr(II)=12
Karena nilai ini bukan 1, kami memiliki status terjerat.

Jika Anda ingin tahu tentang mendeteksi keterjeratan dalam keadaan campuran (bukan keadaan murni), ini kurang mudah, tetapi untuk dua qubit ada kondisi yang diperlukan dan cukup untuk pemisahan: positif di bawah operasi transpos parsial .


+1 Ini adalah metode yang jauh lebih elegan dibandingkan dengan algoritma brute force.
Sanchayan Dutta

Apa itu dan B ? Apakah ini hanya qudit itu sendiri? AB
Dohleman

@ Dohleman Ya, itu hanya label untuk dua bagian sistem, satu bagian dipegang oleh A (Alice), dan yang lainnya oleh B (Bob). Dalam hal ini adalah dua qudit.
DaftWullie
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.