Bagaimana cara memasukkan 2 qubit dalam 2 gerbang Hadamard?

12

Katakanlah kita memiliki sirkuit dengan gerbang Hadamard: $2$

Mari kita ambil negara sebagai masukan. Representasi vektor negara adalah , tapi ini adalah representasi dari qubit dan H menerima hanya qubit, sehingga harus kita menerapkan pertama H gerbang dan yang kedua H gerbang ? Atau haruskah kita memasukkan di setiap gerbang H , karena kita menerapkan H $|00\rangle$ $|00\rangle$ $[1 \ 0 \ 0 \ 0]$ $2$ $1$ $[1 \ 0]$ $[0 \ 0]$ $[1 \ 0]$ gerbang hanya ke satu qubit negara setiap kali? $|0\rangle$

quantum-gate quantum-state

— Archil Zhvania
sumber

12

Atau haruskah kita memasukkan di setiap gerbang H, karena kita menerapkan gerbang H hanya qubit negara setiap kali? $[1 \ 0]$ $|0\rangle$

Ya, ketika Anda memiliki status dua-qubit (misalkan Anda memberi label kedua qubit tersebut masing-masing sebagai dan ), Anda perlu menerapkan dua gerbang Hadamard secara terpisah pada setiap status qubit. Status akhir akan menjadi produk tensor dari dua status qubit tunggal "yang diubah". $A$ $B$

Jika input Anda , output hanya akan $|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{A} \otimes {(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{B}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_A\otimes\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_B$

Alternatif:

Jika dua input qubit terjerat , metode di atas tidak akan berfungsi karena Anda tidak akan dapat mewakili status input sebagai produk tensor dari status kedua qubit tersebut. Jadi, saya menguraikan metode yang lebih umum di sini.

Ketika dua gerbang yang secara paralel, seperti dalam kasus Anda, Anda dapat mempertimbangkan produk tensor dari dua gerbang dan menerapkan bahwa pada vektor state 2-qubit. Anda akan berakhir dengan hasil yang sama.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\ \end{bmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 / 2 \end{matrix}]

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{bmatrix}$

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{A} \otimes {(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{B}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_A\otimes\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_B$

Pembenaran

Produk tensor dari peta linear :

$S : V \to X$ $T : W \to Y$ $S$ $T$ $(S\otimes T)(v\otimes w) = S(v) \otimes T(w)$ $(S\otimes T)(v\otimes w) = S(v) \otimes T(w)$

(H | 0 ⟩_{A}) \otimes (H | 0 ⟩_{B}) = (H \otimes H) (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B})

$(\mathbf H|0\rangle_A) \otimes (\mathbf H|0\rangle_B) = (\mathbf H\otimes \mathbf H)(|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B)$

— Sanchayan Dutta
sumber

3

$|0\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right)$

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) & = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + | 11 ⟩) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right) &= \frac{1}{2} \left( |00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle\right) \end{align}$

Kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa ini adalah keadaan kuantum yang valid dengan memeriksa kondisi normalisasi.

\begin{aligned} {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} & = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= 1 \end{align}$

$|00 \rangle$ $(1, 0, 0, 0)^T$

— nbro
sumber