Mengapa (hampir) setiap pasangan Hamilton menghasilkan, melalui pergantian berulang, seluruh ruang matriks Hermitian?

Dalam [1], masalah simulasi Hamiltonian menggunakan aplikasi berulang dari set Hamiltonians yang berbeda dibahas.

Secara khusus, mari dan menjadi pasangan operator Hermitian, dan biarkan menjadi aljabar yang dihasilkan dari melalui pergantian berulang . $A$ $B$ $\mathcal L$ $A, B$ $^{\mathbf{(\dagger)}}$

Penulis kemudian bertanya (paragraf pertama dari halaman ketiga) apa untuk sepasang yang dapat diamati dan , dan berpendapat bahwa adalah ruang dari semua matriks Hermitian, kecuali (mengutip dari kertas) keduanya dan terletak pada representasi kesatuan dimensi dari beberapa kelompok Lie selain . $\mathcal L$ $A$ $B$ $\mathcal L$ $e^{iA t}$ $e^{iB t}$ $n$ $U(n)$

Saya tidak terlalu terbiasa dengan teori Lie algebras, jadi pernyataan ini cukup samar bagi saya. Bagaimana ini dapat ditampilkan secara lebih eksplisit? Setara, apakah ada cara yang lebih langsung untuk menunjukkan fakta ini?

$(\dagger)$ : Lebih eksplisit, ini adalah ruang vektor yang direntang oleh $A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1] Lloyd 1995, Hampir Semua Gerbang Logika Kuantum adalah Universal , Tautan ke PRL .

simulation

— glS
sumber

Bagi siapa saja yang suka Lie algebras lebih: Anda hanya dapat mengambil dua simbol A, B dan membuat Lie bebas aljabar

. Jadi tidak ada hubungan pada

selain yang memastikan itu masih merupakan aljabar Lie. Kemudian biarkan

menjadi representasi yang turun ke matriks aktual (jadi

adalah apa yang Anda sebut A di atas). Dari sini ada beberapa teorema yang sangat kuat yang menggunakan nama Kashiwara-Vergne . Ini berguna dalam memahami formula panjang Baker-Campbell-Hausdorff (formula yang lebih kuat daripada Trotter).

F r e e_{2}

$Free_2$

†

$\dagger$

ρ

$\rho$

ρ (A)

$\rho (A)$

— AHusain

@ Yahusain itu terdengar seperti sesuatu yang layak menjadi jawaban (bukan yang mudah dimengerti oleh saya, tapi tetap saja ..)!

— glS

Saya tidak terlalu terbiasa dengan teori Lie algebras, jadi pernyataan ini cukup samar bagi saya. Bagaimana ini dapat ditampilkan secara lebih eksplisit? Setara, apakah ada cara yang lebih langsung untuk menunjukkan fakta ini?

Pada sekitar waktu yang sama, David Deutsch et al . membuktikan hal yang sama dalam makalah ini: Universality in Quantum Computation (1995) , tetapi tanpa pernah menggunakan kata "aljabar" atau "Berbohong" di seluruh makalah. Buktinya dimulai pada halaman 3 dan titik utamanya adalah pada Persamaan. 9, yang merupakan persamaan yang sama yang muncul dalam makalah Seth Lloyd, tetapi di sini dijelaskan tanpa referensi ke "Lie algebras". Eq. 9 adalah aplikasi dari apa yang dalam fisika kita sering menyebutnya " Trotter splitting ". Itu ditulis hampir 100 tahun sebelumnya oleh Sophus Lie, tetapi Anda tidak perlu tahu apa-apa tentang Lie Algebras atau bahkan ruang vektor untuk menerapkan rumus seperti yang dilakukan pada Persamaan. 9.

— pengguna1271772
sumber

Sama-sama :) Semoga membantu!

— user1271772

Mengapa ini menjawab pertanyaan? Di koran, H1 dan H2 terkait (dengan swap), sehingga mereka tampaknya TIDAK independen seperti yang ditanyakan dalam pertanyaan!

— Norbert Schuch