Konstruksi Gerbang Quantum XNOR

Mencoba bertanya di sini dulu, karena pertanyaan serupa telah diajukan di situs itu. Tampaknya lebih relevan untuk situs ini.

Ini adalah pemahaman saya saat ini bahwa gerbang XOR kuantum adalah gerbang CNOT. Apakah gerbang kuantum XNOR adalah gerbang CCNOT?

Fungsi klasik satu-bit mana adalah input bit dan adalah output bit dapat ditulis sebagai perhitungan yang dapat dibalik, (Perhatikan bahwa setiap fungsi output dapat ditulis hanya sebagai fungsi 1-bit terpisah.)x ∈ { 0 , 1 } n n y ∈ { 0 , 1 } n f r : ( x , y ) ↦ ( x , y ⊕ f ( x ) ) m $f:x\mapsto y$$x\in\{0,1\}^n$$n$$y\in\{0,1\}$$n$

$$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$$ $m$$m$

Gerbang kuantum yang mengimplementasikan ini pada dasarnya hanyalah gerbang kuantum yang terkait dengan evaluasi fungsi yang dapat dibalik. Jika Anda cukup menuliskan tabel kebenaran fungsi, setiap baris berhubungan dengan satu baris matriks kesatuan, dan hasilnya memberitahu Anda entri kolom mana yang berisi 1 (semua entri lainnya berisi 0).

Dalam kasus XNOR, kita memiliki tabel kebenaran standar, dan tabel kebenaran fungsi yang dapat dibalik Dengan demikian, matriks kesatuan adalah U=( 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$$ Ini dapat dengan mudah didekomposisi dalam beberapa gerbang yang dikontrol-bukan dan sedikit atau dua flip.

Metode yang baru saja saya uraikan memberi Anda cara yang sangat aman untuk membuat konstruksi yang bekerja untuk , tetapi tidak dengan sempurna merekonstruksi korespondensi antara XOR dan dikontrol-tidak. Untuk itu, kita perlu mengasumsikan sedikit lebih banyak tentang sifat-sifat fungsi f ( x ) .$f(x)$$f(x)$

Asumsikan bahwa kita dapat mendekomposisi input menjadi sedemikian sehingga dan sedemikian rupa sehingga untuk semua nilai , nilai berbeda untuk setiap . Dalam hal ini, kita dapat mendefinisikan evaluasi fungsi yang dapat dibalik sebagaiIni berarti bahwa kami menggunakan 1 bit lebih sedikit daripada konstruksi sebelumnya, tetapi dari sini tekniknya dapat diulang.$x$$a,b$$a\in\{0,1\}^{n-1}$$b\in \{0,1\}$$a$$f(a,b)$$b$

$$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$$

Jadi, mari kita kembali ke tabel kebenaran untuk XNOR. Kita dapat melihat itu, misalnya, ketika kita memperbaiki , dua output adalah , karenanya berbeda. Demikian pula untuk memperbaiki . Dengan demikian, kita dapat melanjutkan dengan konstruksi fungsi reversibel dan ini memberi kita kesatuan

$$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$$ $a=0$$1,0$$a=1$ $$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

XNOR kuantum bukan CCNOT. CCNOT akan mengambil 3 bit sebagai input, sedangkan XOR, XNOR, dan CNOT hanya menerima 2 bit atau qubit sebagai input.

Alasan mengapa kita mengatakan XOR dapat dianggap sebagai CNOT dijelaskan di sini , dan alasan yang sama dapat digunakan untuk membangun XNOR (2 qubit).