Apa motivasi di balik matriks kepadatan? Dan, apa perbedaan antara matriks kerapatan kondisi murni dan matriks kerapatan kondisi campuran?

^{Ini adalah sekuel yang dijawab sendiri untuk Apa perbedaan antara keadaan kuantum murni dan campuran? & Bagaimana menemukan matriks kepadatan qubit? Anda boleh menulis jawaban alternatif.}

quantum-state density-matrix

— Sanchayan Dutta
sumber

Motivasi

Motivasi di balik matriks kepadatan adalah untuk mewakili kurangnya pengetahuan tentang keadaan sistem kuantum yang diberikan, merangkum dalam deskripsi tunggal dari sistem ini semua hasil yang mungkin dari hasil pengukuran, mengingat apa yang kita ketahui tentang sistem. Representasi matriks kerapatan memiliki keuntungan tambahan untuk menyingkirkan setiap masalah yang terkait dengan fase global karena Kurangnya pengetahuan mungkin muncul dalam berbagai cara:

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$

Kurangnya pengetahuan subjektif - wasit mempersiapkan untuk Anda salah satu dari serangkaian negara dengan probabilitas , tetapi Anda tidak tahu yang mana. Bahkan jika mereka tahu mereka persiapkan, karena Anda tidak, Anda harus menggambarkannya berdasarkan apa yang Anda ketahui tentang set negara yang memungkinkan dan probabilitasnya,. $\{|\phi_i\rangle\}$ $p_i$ $|\phi_j\rangle$ $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$
Kurangnya pengetahuan objektif - jika sistem kuantum adalah bagian dari keadaan terjerat yang lebih besar, tidak mungkin untuk menggambarkan sistem sebagai keadaan murni, tetapi semua hasil pengukuran yang mungkin dijelaskan oleh matriks kerapatan yang diperoleh oleh . $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

Sangat menarik, bagaimanapun, bahwa kurangnya pengetahuan objektif dapat menjadi subyektif - pihak kedua dapat melakukan operasi di seluruh negara yang terjerat. Mereka dapat mengetahui hasil pengukuran dll. Tetapi jika mereka tidak meneruskannya, orang yang memegang sistem kuantum asli tidak memiliki pengetahuan baru, dan dengan demikian menggambarkan sistem mereka menggunakan matriks kepadatan yang sama seperti sebelumnya, tetapi sekarang merupakan deskripsi subjektif .

Penting juga untuk dicatat bahwa memilih cara tertentu untuk merepresentasikan matriks kerapatan, misalnya,, adalah pilihan yang sangat subyektif. Mungkin dimotivasi oleh prosedur persiapan tertentu, tetapi secara matematis, setiap deskripsi yang memberikan matriks yang sama adalah setara. Misalnya, pada qubit tunggal, dikenal sebagai keadaan campuran secara maksimal. Karena hubungan kelengkapan dasar, ini dapat direpresentasikan sebagai campuran 50:50 atau dua negara ortogonal menggunakan setiap dasar 1-qubit. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ $\rho=\frac12\mathbb{I}$

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Serikat Murni dan Campuran

Perbedaan antara matriks kerapatan keadaan murni dan keadaan campuran sangat mudah - keadaan murni adalah kasus khusus yang dapat ditulis dalam bentuk, sementara negara campuran tidak dapat ditulis dalam formulir ini. Secara matematis, ini berarti bahwa matriks kerapatan keadaan murni memiliki peringkat 1, sedangkan keadaan campuran memiliki peringkat lebih besar dari 1. Cara terbaik untuk menghitung ini adalah melalui : menyiratkan keadaan murni, jika tidak dicampur. Untuk melihat ini, ingat bahwa , artinya semua nilai eigen dijumlahkan menjadi 1. Juga, adalah semi-pasti positif, sehingga semua nilai eigen itu nyata dan tidak negatif. Jadi, jika $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ adalah peringkat 1, nilai eigennya adalah , dan jumlah kuadratnya jelas 1. Jumlah kuadrat dari set angka non-negatif lainnya yang dijumlahkan ke 1 harus kurang dari 1. $(1,0,0,\ldots ,0)$

Keadaan murni berhubungan dengan pengetahuan yang sempurna dari sistem, meskipun sedikit kesenangan tentang mekanika kuantum adalah bahwa ini tidak menyiratkan pengetahuan penuh tentang hasil pengukuran yang mungkin. Negara campuran mewakili beberapa pengetahuan yang tidak sempurna, apakah itu pengetahuan tentang persiapan, atau pengetahuan tentang ruang Hilbert yang lebih besar.

Bahwa deskripsi keadaan campuran jauh lebih kaya dapat dilihat dari gambar lingkup Bloch pada qubit tunggal: keadaan murni adalah semua yang ada di permukaan bola, sedangkan keadaan campuran adalah semua yang terkandung dalam volume. Dalam hal penghitungan parameter, alih-alih dua parameter, Anda perlu tiga, satu ekstra sesuai dengan panjang vektor Bloch. mana adalah vektor unit 3-elemen, adalah vektor dari matriks Pauli, dan untuk keadaan murni, dan untuk keadaan campuran.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
sumber

(+1) Terima kasih, sesuai pemahaman saya, kami memiliki status dan ingin tahu tentang , dan tidak ada cara yang sudah ada sebelumnya untuk menemukannya, maka kami mendefinisikan kepadatan matriks, apakah saya benar? Apakah kita memiliki definisi yang berbeda dari matriks kerapatan untuk tujuan yang berbeda? Seperti, Anda telah menyebutkan untukuntuk kurangnya pengetahuan subjektif dan untuk objektif , pertama-tama, tidak jelas bagi saya apa yang Anda maksud dengan kurangnya pengetahuan?

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

— tarit goswami

(lanjutan) Kedua, dapatkah Anda menjelaskan dengan contoh apa yang Anda maksudkan dengan subjektif dan objektif ?

— tarit goswami

Tujuan @taritgoswami berarti semua orang setuju. Jadi, jika saya membuat negara murni, dan mengumumkannya kepada dunia, semua orang tahu apa itu negara. Itu fakta objektif. Tetapi, jika orang yang berbeda mengetahui hal-hal yang berbeda tentang suatu negara, misalnya mereka tahu itu adalah | 0> atau | 1>, tapi saya sudah mengukurnya, dan tahu itu | 1>, tetapi saya belum memberi tahu orang lain, maka semua orang menggambarkan negara berdasarkan apa yang mereka ketahui tentang hal itu, sehingga setiap subjek memiliki deskripsi negara yang berbeda, pribadi.

— DaftWullie

@taritgoswami Jika ada yang terjerat, tidak ada gagasan tentang . Bukannya kita tidak dapat menemukannya; itu tidak ada. Matriks kerapatan adalah deskripsi terbaik dari A dengan sendirinya yang dapat eksis karena A tidak ada dalam keadaan dengan sendirinya, ia digabung dengan yang dari B. Kami tidak memiliki definisi yang berbeda dari matriks kerapatan. Sifat dasar yang sama berlaku, apa pun yang Anda lakukan, hanya saja ada beberapa filosofi yang dengannya Anda dapat memahami makna dan relevansi matriks kerapatan.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie

Motivasi di balik matriks kepadatan ^[1] :

Dalam mekanika kuantum, keadaan sistem kuantum diwakili oleh vektor keadaan, dilambangkan (dan diucapkan ket ). Sistem kuantum dengan vektor keadaan disebut keadaan murni . Namun, juga dimungkinkan bagi suatu sistem untuk berada dalam ansambel statistik berbagai vektor keadaan. Misalnya, mungkin ada kemungkinan bahwa vektor keadaan dan kemungkinan bahwa vektor negara adalah . Sistem ini akan berada dalam kondisi campuran $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . Matriks kerapatan sangat berguna untuk keadaan campuran, karena keadaan apa pun, murni atau campuran, dapat dikarakterisasi dengan matriks kerapatan tunggal. Keadaan campuran berbeda dari superposisi kuantum. Probabilitas dalam keadaan campuran adalah probabilitas klasik (seperti dalam probabilitas yang dipelajari dalam teori / statistik probabilitas klasik), tidak seperti probabilitas kuantum dalam superposisi kuantum. Bahkan, superposisi kuantum dari keadaan murni adalah keadaan murni lain, misalnya, . Dalam hal ini, koefisien $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ bukan probabilitas, melainkan probabilitas amplitudo. $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Contoh: polarisasi cahaya

Contoh dari keadaan murni dan campuran adalah polarisasi ringan. Foton dapat memiliki dua heliks , sesuai dengan dua keadaan kuantum ortogonal, (kanan polarisasi sirkular ) dan (kiri polarisasi melingkar ). Foton juga bisa berada dalam keadaan superposisi, seperti $|R\rangle$ $|L\rangle$ (polarisasi vertikal) atau $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (polarisasi horizontal). Lebih umum, itu bisa dalam keadaan apa pun(dengan) sesuai denganlinier,melingkaratauelipspolarisasi. Jika kita lulus $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ cahaya terpolarisasi melaluipolarizer melingkaryang memungkinkan hanyaterpolarisasi cahaya, atau hanyaterpolarisasi cahaya, intensitas akan berkurang setengahnya dalam kedua kasus. Ini mungkin membuatnyatampakseperti setengah dari foton dalam keadaandan yang lainnya di negara. Tapi ini tidak benar: Keduanyadanyang sebagian diserap oleh vertikalpolarizer linear, tetapi $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ cahaya akan melewati polarizer itu tanpa daya serap apapun. $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

Namun, cahaya yang tidak terpolarisasi seperti cahaya dari bola lampu pijar berbeda dari keadaan seperti (linear, melingkar atau polarisasi elips). Tidak seperti cahaya yang terpolarisasi linier atau elips, ia melewati polarizer dengan kehilangan intensitas apa pun orientasi polarizer; dan tidak seperti cahaya yang terpolarisasi sirkuler, ia tidak dapat dibuat secara terpolarisasi linier dengan pelat gelombang apa pun karena polarisasi berorientasi acak akan muncul dari pelat gelombang dengan orientasi acak. Memang, cahaya tak terpolarisasi tidak dapat digambarkan sebagai salah $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ keadaan bentuk dalam arti yang pasti. Namun, cahaya yang tidak terpolarisasi dapat dideskripsikan dengan rata-rata ensemble, misalnya bahwa setiap foton adalah dengan probabilitas atau dengan probabilitas. Perilaku yang sama akan terjadi jika setiap foton terpolarisasi vertikal dengan probabilitas atau terpolarisasi horizontal dengan probabilitas . $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Oleh karena itu, cahaya yang tidak terpolarisasi tidak dapat dideskripsikan dengan keadaan murni apa pun tetapi dapat digambarkan sebagai ansambel statistik keadaan murni setidaknya dalam dua cara (ansambel setengah kiri dan setengah kanan terpolarisasi sirkuler, atau ansambel setengah vertikal dan setengah terpolarisasi linier secara horizontal horizontal) ). Kedua ansambel ini sama sekali tidak dapat dibedakan secara eksperimental, dan oleh karena itu mereka dianggap sebagai negara campuran yang sama. Salah satu keuntungan dari matriks kerapatan adalah bahwa hanya ada satu matriks kerapatan untuk setiap keadaan campuran, sedangkan ada banyak ansambel statistik keadaan murni untuk setiap keadaan campuran. Namun demikian, matriks kerapatan berisi semua informasi yang diperlukan untuk menghitung properti terukur dari negara campuran.

Dari mana asal negara campuran? Untuk menjawab itu, pertimbangkan cara menghasilkan cahaya yang tidak terpolarisasi. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan sistem dalam kesetimbangan termal , suatu campuran statistik dari sejumlah besar keadaan mikro , masing-masing dengan probabilitas tertentu ( faktor Boltzmann ), beralih dengan cepat dari satu ke yang berikutnya karena fluktuasi termal . Keacakan termal menjelaskan mengapa bola lampu pijar , misalnya, memancarkan cahaya yang tidak terpolarisasi. Cara kedua untuk menghasilkan cahaya yang tidak terpolarisasi adalah dengan memperkenalkan ketidakpastian dalam persiapan sistem, misalnya, melewatkannya melalui kristal birefringentdengan permukaan kasar, sehingga bagian balok yang sedikit berbeda memperoleh polarisasi yang berbeda. Cara ketiga untuk menghasilkan cahaya yang tidak terpolarisasi menggunakan pengaturan EPR: Peluruhan radioaktif dapat memancarkan dua foton yang bergerak dalam arah yang berlawanan, dalam keadaan kuantum . Kedua foton bersama-sama dalam keadaan murni, tetapi jika Anda hanya melihat salah satu foton dan mengabaikan yang lain, foton berperilaku seperti cahaya yang tidak terpolarisasi. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Lebih umum, keadaan campuran umumnya timbul dari campuran statistik dari keadaan awal (seperti dalam kesetimbangan termal), dari ketidakpastian dalam prosedur persiapan (seperti jalur yang sedikit berbeda yang dapat dilalui oleh foton), atau dari melihat subsistem yang terjerat dengan sesuatu yang lain.

Memperoleh matriks kerapatan ^[2] :

Seperti disebutkan sebelumnya, suatu sistem dapat berada dalam ansambel statistik dari berbagai vektor keadaan. Katakanlah ada probabilitas bahwa vektor keadaan dan probabilitas bahwa vektor negara adalah yang sesuai probabilitas klasik setiap negara sedang dipersiapkan. $p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

Katakanlah, sekarang kita ingin mencari nilai harapan dari operator . Itu diberikan sebagai: $\hat{O}$

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Perhatikan bahwa dan adalah skalar, dan jejak skalar adalah skalar juga. Jadi, kita dapat menulis ungkapan di atas sebagai: $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Sekarang, dengan menggunakan invarian siklik dan sifat linearitas jejak :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

di mana adalah apa yang kita sebut matriks kerapatan. Operator kepadatan berisi semua informasi yang diperlukan untuk menghitung nilai ekspektasi untuk percobaan. $\rho$

Dengan demikian, pada dasarnya matriks kerapatan adalah $\rho$

pada kasus ini.

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$

Anda jelas dapat memperkirakan logika ini ketika lebih dari dua vektor keadaan dimungkinkan untuk suatu sistem, dengan probabilitas yang berbeda.

Menghitung matriks kerapatan:

Mari kita ambil contoh, sebagai berikut.

Pada gambar di atas, bola lampu pijar memancarkan foton terpolarisasi acak sepenuhnya dengan matriks kepadatan keadaan campuran. $1$ $2$

Seperti yang disebutkan sebelumnya, cahaya yang tidak terpolarisasi dapat dijelaskan dengan rata-rata ensemble yaitu mengatakan setiap foton adalah atau dengan probabilitas untuk masing-masing. Kemungkinan rata-rata ansambel lainnya adalah: setiap foton adalah $|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ atau $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ denganprobabilitasuntuk masing-masing. Ada banyak kemungkinan lain juga. Cobalah untuk membuat sendiri. Poin yang perlu diperhatikan adalah bahwa matriks kerapatan untuk semua ansambel yang mungkin ini akan persis sama. Dan inilah alasan mengapa dekomposisi matriks kerapatan menjadi keadaan murni tidaklah unik. Mari kita periksa: $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

Kasus 1 : & $50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Sekarang, di dasar , dapat dinyatakan sebagai dan dapat dinyatakan sebagai $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Kasus 2 : $50\%$ & $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

Atas dasar , $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ dapat dilambangkan sebagaidan $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Namun, setelah melewati polarizer bidang vertikal (3), foton yang tersisa semuanya terpolarisasi vertikal (4) dan memiliki matriks kerapatan keadaan murni:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

In the basis $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

The single qubit case:

In this case, the density matrix will simply be:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$ ,

the density matrix will simply be:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$ . This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$ .
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia

— Sanchayan Dutta
sumber

Awalnya agak membingungkan apa yang Anda pertimbangkan sebagai situasi awal Anda. Mungkin mempertimbangkan beralih | L> dan | R> ke | H> dan | V> (dengan polarizer diatur ke D)? Sementara secara teknis semua hal yang sama dalam beberapa dasar, saya pikir lebih alami untuk berpikir tentang polarisasi dalam basis H, V.

— Steven Sagona

I think this question misses the most fundamental aspect of the different between pure and mixed, and that is that mixed states do not behave quantum mechanically. You say that states are classical mixtures, but you do not point out how superpositions states behave quantum mechanically (which is nontrivial). For example if you have something in a 1qubit superposition there's also a 50/50 chance of each option. So how is this state different than a classical one. I think showing how we can see "quantum interference" of a superposition state is how to properly illustrate the difference.

— Steven Sagona

^ Ide ini dibahas sedikit di sini: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@ SevenSagona Terima kasih telah menunjukkan itu. Saya akan memperbarui jawaban saya.

— Sanchayan Dutta

Matriks kepadatan untuk kondisi murni dan campuran

Motivasi

Serikat Murni dan Campuran

Motivasi di balik matriks kepadatan [1] :

Contoh: polarisasi cahaya

Memperoleh matriks kerapatan [2] :

Menghitung matriks kerapatan:

The single qubit case:

Obligatory exercises:

Motivasi di balik matriks kepadatan ^[1] :

Memperoleh matriks kerapatan ^[2] :