Apakah status grafik qudit terdefinisi dengan baik untuk dimensi non-prime?

Status grafik Qudit adalah generalisasi dimensi dari status grafik qubit sedemikian rupa sehingga masing-masing negara diwakili oleh grafik tertimbang (tanpa loop otomatis) sehingga setiap tepi diberikan bobot . Keadaan grafik yang terkait dengan kemudian diberikan oleh mana dan adalah gerbang Fourier $d$$G$$(i, j)$$A_{i, j} = 0,\ldots,d-1$$G$

$$|G⟩ = \prod_{i>j} \textrm{CZ}_{i,j}^{A_{i,j}} |+⟩^{\otimes n},$$ $|+⟩ = F^\dagger|0⟩$$F$ $$F = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1} \omega^{kl}|k⟩⟨l|.$$

Dalam literatur tentang status grafik qudit, tampaknya tidak ada konsistensi apakah status tersebut hanya ditentukan untuk prima atau tidak. Sebagai contoh, beberapa sumber hanya memberikan definisi di atas untuk prime, seperti$d$$d$

• Berbagi rahasia kuantum dengan status grafik qudit
• Grafik Qudit Benar-benar Terlibat Maksimal

sedangkan beberapa tidak menentukan batasan seperti itu, seperti

• Paradoks Greenberger-Horne-Zeilinger dari Qudit Graph States
• Kode koreksi kesalahan kuantum menggunakan status grafik qudit

Jadi mana yang benar? Apakah status grafik qudit (baik) didefinisikan ketika dimensinya non-prima?

Juga, jika demikian, apakah mereka didefinisikan secara unik?

Definisi yang Anda berikan untuk status grafik, dan khususnya kuantum Fourier transform dan operator dikontrol - di mana kami menganggap sebagai generalisasi kesatuan operator Pauli , memuaskan untuk a operasi permutasi shift-by-one - semua didefinisikan dengan baik bahkan dalam dimensi komposit. Transformasi Fourier jelas merupakan operasi yang menarik untuk definisi sewenang-wenang; operasi kontrol- masih diagonal dan kesatuan, dan masih memiliki koneksi yang relevan dengan sebagai tensor; tidak ada apapun tentang objek matematika itu sendiri yang menjadi masalah dalam dimensi komposit.Z Z Z Z = F X F † X Z $F$$Z$$Z$$Z$$Z = F XF^\dagger$$X$$Z$$F$

Alasan mengapa Anda melihat begitu banyak penekanan pada dimensi prima adalah pada dasarnya bahwa dimensi qudit komposit tidak nyaman untuk dianalisis. Alasan untuk ini muncul dari teori bilangan: terutama dalam kenyataan bahwa dalam dimensi komposit seseorang harus khawatir tentang nol pembagi. Terus terang, tidak banyak di lapangan yang menganggap diri mereka sebagai teori nomor, dan sangat sedikit peneliti (baik di antara penulis atau pembaca artikel) memiliki banyak kesabaran untuk sistem angka yang bukan bidang seperti contoh yang sangat disukai dari , , , dan tentu saja bilangan bulat modulo utama ,R Q p Z$\mathbb C$$\mathbb R$$\mathbb Q$$p$$\mathbb Z_p$. Untuk alasan ini, Anda jarang akan melihat referensi untuk dimensi Qudit komposit di mana saja di lapangan. Bahkan ketika Anda melakukannya, perhatian utama kenyamanan matematika biasanya akan memotivasi beberapa batasan lainnya.

Teori informasi kuantum kadang-kadang memanfaatkan teori bilangan, dan matematika murni secara umum, tetapi jangan membuat kesalahan: bidang ini tidak memiliki banyak tumpang tindih dengan prioritas matematika murni. Jika sebuah definisi telah disajikan dengan cara yang terlihat sangat terbatas, kemungkinan besar karena definisi tersebut memungkinkan hasil yang akan lebih menantang, atau bahkan sedikit lebih canggung, untuk dibuktikan tanpa batasan itu - dan itu dianggap lebih penting untuk mempublikasikan contoh-contoh hasil yang mengejutkan daripada menyajikan teori matematika yang cukup lengkap.