Jumlah gerbang yang dibutuhkan untuk mendekati kesatuan yang sewenang-wenang

Jika saya mengerti dengan benar, harus ada operasi kesatuan yang dapat diperkirakan hingga jarak hanya dengan jumlah eksponensial gerbang kuantum dan tidak kurang. $\epsilon$

Namun, dengan teorema Solovay-Kitaev, setiap operasi kesatuan yang sewenang-wenang dalam qubit, dengan diperbaiki, dapat diperkirakan hingga jarak menggunakan poli (log (1 / )) gerbang universal. $n$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$

Tidakkah kedua pernyataan ini tampak kontradiktif? Apa yang saya lewatkan?

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— BlackHat18
sumber

Dalam pernyataan Anda, jumlah gerbang eksponensial sehubungan dengan apa? Presisi?

— Nelimee

Saya kira jumlah qubit. Saya rasa saya mengerti sekarang. Menjaga ketepatan tetap, mungkin ada kesatuan yang membutuhkan jumlah gerbang eksponensial untuk disimulasikan, sehubungan dengan jumlah qubit. Sebaliknya, menurut teorema Solovay Kitaev, menjaga jumlah qubit tetap, jumlah gerbang kuantum universal untuk skala simulasi secara polinomi sehubungan dengan presisi. Adalah bahwa apa itu?

— BlackHat18

Ya, persis - Anda membandingkan penskalaan sehubungan dengan dua parameter berbeda: akurasi yang dapat dicapai untuk gerbang qubit tunggal sebagai fungsi dari jumlah gerbang untuk beberapa set universal terbatas, dan jumlah gerbang yang diperlukan untuk mencapai akurasi yang diberikan untuk unitaries sebagai fungsi dari jumlah qubit yang digunakan kesatuan.

— DaftWullie

Jika pertanyaan tidak lagi ditanyakan, @ BlackHat18 dapat menjelaskan mengapa sebagai jawaban sendiri. Apa kebijakan tentang ini?

— AHusain

@AHusain BlackHat18 menjawab sendiri diizinkan dan dianjurkan

— glS

Penskalaan penuh akan menjadi $O(4^n\text{poly}\left(\log\frac{1}{\epsilon}\right))$ , jadi Anda memang mendapatkan penskalaan eksponensial dalam jumlah qubit.

— Akan
sumber

Perhatikan bahwa teorema Solovay-Kitaev berlaku untuk unitari pada qu $d$ it (bagian 5 dalam DN05 ), maka kita dapat mengatur $d=2^n$ untuk $n$ -qubit kesatuan. Mengikuti analisis yang sama, kami dapatkan

$l_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 5/\ln(3/2)} (1/\epsilon))$
$t_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 3/\ln(3/2)}(1/\epsilon))$

$\epsilon$ $SU(d)$ $(d^2-1)$ $SU(d)$ $\epsilon_0$ $O(1/\epsilon_0^{d^2-1})$

$\mathcal{G}$

l_{0} \geq O (\frac{d^{2} - 1}{\log | G |} \log (1 / ϵ_{0})) .

$l_0 \geq O\left(\frac{d^2-1}{\log |\mathcal{G}|} \log(1/\epsilon_0)\right).$

d = 2^{n}

$d=2^n$

n

$n$

l_{0} \sim 4^{n} p o l y \log (1 / ϵ)

$l_0 \sim 4^n \mathrm{poly}\log(1/\epsilon)$

n

$n$

— Yupan Liu
sumber