Bagaimana cara membangun multi-qubit dikendalikan-Z dari gerbang dasar?

9

Untuk implementasi algoritma kuantum tertentu, saya perlu membangun multi-qubit (dalam hal ini, tiga-qubit) yang dikontrol-Z gerbang dari satu set gerbang dasar, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. .

Gerbang yang bisa saya gunakan adalah

gerbang Pauli dan semua kekuatan mereka (yaitu semua rotasi Pauli hingga faktor fase), $\rm X, Y, Z$
${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (rotasi sekitar proyektor), $|11\rangle\langle11|$
$\rm H$ (Hadamard),
$\rm C_X$ (single-qubit controlled-X atau CNOT),
$\rm C_Z$ (single-qubit controlled-Z), dan
$\rm S$ (SWAP).

Bagaimana saya bisa membangun tiga-qubit yang dikontrol-Z dari gerbang ini? Saya telah membaca beberapa makalah tentang dekomposisi sirkuit, tetapi tidak ada yang bisa memberi saya jawaban yang jelas dan ringkas.

quantum-gate gate-synthesis

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
sumber

Haruskah register ke-4 Anda memiliki Z, bukan lingkaran hitam?

— user1271772

1

@ user1271772 Keduanya baik-baik saja. Karena gerbang-Z yang dikontrol simetris dalam qubit yang digunakan (yaitu seseorang dapat bertukar dua qubit dan efek gerbang akan tetap sama), notasi tanpa urutan, seperti yang dengan titik-titik hitam, telah dianggap lebih sesuai dalam literatur terbaru.

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

5

(EDIT: Ditingkatkan menjadi 14 CNOT.)

Ini dapat dilakukan dengan 14 CNOT, ditambah 15 rotasi Z single-qubit, dan tidak ada qubit tambahan.

Sirkuit yang sesuai adalah

di mana $\fbox{$\pm$}$ gerbang adalah rotasi

R_{z} (\pm π / 16) \propto (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm i π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

Penurunan:

Dengan menggunakan prosedur yang diuraikan dalam https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , setiap gerbang diagonal - apa pun yang secara khusus gerbang CCCZ - dapat didekomposisi dalam hal misalnya CNOT dan gerbang diagonal satu-qubit, di mana CNOT dapat dioptimalkan sendiri mengikuti prosedur optimasi klasik.

Referensi menyediakan sirkuit menggunakan 16 CNOT untuk gerbang 4-qubit diagonal yang sewenang-wenang (Gbr. 4).

Ini dapat ditingkatkan jika pasangan qubit yang sewenang-wenang dapat digabungkan menjadi 14 qubit. Untuk tetangga terdekat dengan kondisi batas periodik (terbuka), ini dapat dilakukan dengan 16 (18) CNOT. Sirkuit yang sesuai dapat ditemukan di https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Gambar 5.2, 5.4, dan 5.5, dan misalnya dapat diperoleh dengan menggunakan metode untuk membangun urutan Gray pendek.

Jumlah gerbang satu-qubit selalu 15.

Catatan: Meskipun pada prinsipnya mungkin ada rangkaian yang lebih sederhana (rangkaian kata tersebut telah dioptimalkan dengan arsitektur sirkuit yang lebih terbatas dalam pikiran), sirkuit itu harus mendekati optimal - rangkaian harus membuat semua keadaan bentuk $\bigoplus_{i\in I}x_i$ untuk subset non-sepele $I\subset\{1,2,3,4\}$ , dan ada 15 dari mereka untuk 4 qubit.

Perhatikan juga bahwa konstruksi ini tidak perlu optimal.

^{1 Catatan: Saya seorang penulis}

— Norbert Schuch
sumber

Dan apakah menggunakan gerbang Rx (atau Ry) alih-alih gerbang Rz menjadikan ini gerbang multi-qubit terkontrol-X (atau dikendalikan-Y)?

— Sierox

@Sierox Anda hanya perlu Hadamard-mentransformasikan semua yang ada di qubit bawah, yaitu CNOT yang sesuai akan menjadi CZ, dan rotasi di qubit bawah akan menjadi rotasi X.

— Norbert Schuch

6

Anda dapat menerapkan -qubit dikendalikan oleh rangkaian diberikan dalam jawaban ini . Hanya mengganti oleh . Namun ini membutuhkan gerbang CCNOT (Toffoli), dan Anda memiliki beberapa opsi untuk menerapkan CCNOT menggunakan gerbang dasar . $n$ $U$ $U$ $Z$

— pengguna1271772
sumber

2

Itu memberi sirkuit dengan kedalaman yang berpotensi berlebihan. Mungkin OP ingin sirkuit yang lebih dangkal dengan set gerbang itu. Seseorang dapat melakukan prosedur otomatis untuk mengurangi ukuran sirkuit secara moderat.

— AHusain

@ Yahusain: Apa prosedur otomatisnya?

— user1271772

2

Ini menggunakan hasil dari teori kelompok otomatis, jadi itu permainan kata-kata. Penjelasan akan pergi ke tempat lain; bukan komentar singkat.

— AHusain

Oke @ Yahusain, saya akan mengajukan pertanyaan yang ditujukan hanya untuk Anda!

— user1271772

5

Berikut ini adalah konstruksi CCCZ yang menggunakan 29 gerbang :

Jika Anda diizinkan menggunakan pengukuran dan umpan maju klasik, jumlah gerbang dapat dikurangi menjadi 25 :

(Gerbang Hadamard dapat diganti dengan akar kuadrat Y jika diperlukan untuk memenuhi batasan gerbang yang ditetapkan.)

Dan jika Anda mengizinkan saya untuk melakukan Controlled-S gates dan Controlled-sqrt (X) gates dan melakukan pengukuran berbasis X, maka saya dapat menurunkannya menjadi total 10 gerbang :

— Craig Gidney
sumber

Tapi Anda menggunakan pengukuran + gerbang terkontrol bersyarat di akhir. Saya akan mengatakan itu di luar aturan "normal" permainan. (Misalnya, jika Anda akan menggantinya dengan gerbang terkontrol dan menunda pengukuran, Anda masih akan menggunakan Toffoli.)

— Norbert Schuch

1

@NorbertSchuch Itulah sebabnya saya mengawali diagram kedua dengan "jika Anda diizinkan menggunakan pengukuran dan feedforward klasik". Perhatikan bahwa diagram pertama tidak menggunakan hal-hal itu.

— Craig Gidney

UPS. Maaf. MEA Culpa. Saya seharusnya tidak hanya melihat gambar-gambar, dan menggulirkan sedikit: - |

— Norbert Schuch

Di akhir sirkuit pertama, qubit kelima dibuang. Bagaimana saya harus memperlakukan qubit itu jika saya membutuhkan beberapa CCCZ secara berurutan?

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

Anda akan memasukkannya ke CCCZ berikutnya, tetapi hilangkan dua operasi pertama di sirkuit CCCZ kedua. Operasi-operasi itu sedang mempersiapkannya menjadi keadaan T, yang merupakan kondisi akhir dari qubit yang dibuang. Jadi CCCZ kedua akan memiliki 2 operasi lebih sedikit.

— Craig Gidney

4

Saya memposting dekomposisi CCCZ lain di sini kalau-kalau berguna bagi orang lain yang mencoba untuk mengkompilasi CCCZ. Ini membutuhkan jumlah gerbang total yang lebih sedikit, dan hanya 1 qubit tambahan alih-alih 2, tetapi lima gerbang 2-qubit lebih banyak daripada jawaban "jelas", jadi mungkin sebenarnya lebih buruk untuk diterapkan pada Perangkat Keras.

Disarankan oleh pengguna @Rob dalam komentar ini: Kompilasi otomatis sirkuit kuantum , dan berasal dari makalah ini .

$(\chi)$

$n=5$ $\chi_{ij}=\chi$

— pengguna1271772
sumber

1

χ_{i j}

$\chi_{ij}$

@NorbertSchuch: pertanyaannya meminta CCCZ tidak masuk (CCCZ). Jika kita melakukan log (CCCZ), yang mungkin Anda sarankan karena GMS5 adalah eksponen gerbang dasar dan logaritma itu mungkin akan lebih mudah untuk diterapkan, apakah akan mudah untuk mendapatkan output CCCZ dari jawaban untuk log ( CCCZ)?

— user1271772

Saya tidak tahu apa yang Anda bicarakan. Jumlah produk atau Paulis TIDAK mudah diimplementasikan. Mereka bahkan bukan kesatuan. --- Tapi logaritma unitarian adalah orang Hamilton, jadi jika Anda dapat mengembangkan waktu dengan log (CCCZ) melalui beberapa pengaturan eksperimental yang cerdas, Anda akan mendapatkan CCCZ dengan "satu gerbang" dalam penghitungan ini.

— Norbert Schuch

2

@NorbertSchuch: Komentar Anda "exp (-iHt) hampir tidak adiabatik" adalah nol secara semantik dan tidak masuk akal. Mengapa Anda bertanya kepada saya "mengapa tidak mengambil logaritma gerbang CCCZ?" ?

— user1271772

1

@ user1271772 hanya untuk menambah apa (saya percaya) yang dikatakan Norbert dalam komentar: masalah mencoba menemukan Hamilton yang independen waktu secara langsung menghasilkan gerbang nontrivial (CCX dan yang lainnya dipertimbangkan di surat kabar) telah dipelajari di arxiv.org/ abs / 1803.07119 . Masalah dalam pengaturan ini adalah menemukan orang Hamilton yang hanya mengandung interaksi yang layak dan masih menghasilkan gerbang target. Sumber daya dengan demikian menjadi apa yang diizinkan interaksi Hamiltonian, daripada apa gerbang dasar diizinkan

— glS

4

$T$ $Z^{1/4}$

$T$ $|1\rangle$ $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ $-iHT^4H=-iX$ $Z^{1/4}$ $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Juga, perhatikan bahwa kedua gerbang Toffoli hanya Toffoli karena mereka menargetkan kondisi 0. Biasanya Anda membutuhkan gerbang dua-qubit tambahan.

Saya belum menemukan konstruksi yang efisien dalam literatur yang ada, meskipun makalah ini mengklaim konstruksi menggunakan hanya 11 gerbang 2-qubit, tapi saya belum melakukan penghitungan gerbang lengkap setelah dikonversi menjadi set gerbang terbatas pertanyaan.

— DaftWullie
sumber

Terasa seperti Anda tidak menghitung sth. di bagian bawah sirkuit - tetapi saya tidak berpikir terlalu keras tentang hal itu;)

— Norbert Schuch

Saya tidak menghitung ancilla, terlepas dari rotasi qubit tunggal yang tidak relevan di atasnya. Itulah yang dilakukan Toffoli terakhir. Saya kira Toffoli harus dalam koma terbalik karena tidak ada 1 gerbang di ujungnya.

— DaftWullie

Apakah Anda yakin blok pertama adalah Toffoli - atau hanya Toffoli di ancilla? (Saya ingat yang terbaik yang bisa dilakukan untuk Toffoli adalah sekitar 8 CNOT).

— Norbert Schuch

Saya pikir Anda kehilangan koreksi fase CS pada dua qubit teratas di blok tengah. Anda harus dapat menjatuhkan CZ paling kiri dari masing-masing blok samping.

— Craig Gidney

Saya akan memeriksa dengan hati-hati pada hari Selasa. Saya pikir formulasi ini menghindari cS.

— DaftWullie

2

Sementara jawaban saya yang lain adalah cara "buku teks" yang paling jelas (menggunakan dekomposisi CCCZ Nielsen & Chaung menjadi CCNOT , maka dekomposisi buku teks lain untuk mengkompilasi CCNOT ), cara yang lebih kreatif mungkin memungkinkan kita menyelesaikan pekerjaan dengan gerbang yang lebih sedikit.

Langkah 1:

Ganti semua CNOT di sirkuit Nielsen & Chuang dengan gadget ini:

Langkah 2:

Sekarang kami memiliki banyak CCZ, bukan CCNOT, dan mereka dapat terurai seperti ini (milik makalah ini ):

Langkah 3:

$H^2 = I$

— pengguna1271772
sumber

Berapa jumlah gerbang?

— Norbert Schuch