Berapa banyak bit yang perlu dibandingkan oleh Alice dan Bob untuk memastikan saluran tersebut aman di BB84?

Saya mencoba belajar sendiri qmc dengan membaca buku Quantum Computing A Gentle Introduction, di bagian 2.4 ini berbicara tentang protokol distribusi kunci kuantum BB84. Setelah (saya pikir) saya memahaminya saya mulai bekerja pada latihan 2.9 dan 2.10.

Ex. 2.9 menanyakan berapa banyak bit yang harus diperbandingkan Alice dan Bob untuk menjadi 90% yakin bahwa tidak ada Hawa yang hadir di BB84. Jadi jika saya mengerti dengan benar, BB84 adalah sebagai berikut:

1. Alice secara acak memilih basis / polarisasi foton dari dua basis $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle \}$ dan $\{ |+\rangle, |-\rangle \}$ untuk mengkodekan informasi bit $0$ atau $1$ (aturan encoding dikenal misalnya $|0\rangle$ mewakili $0$ ). Lalu dia mengirimkan urutan foton seperti itu kepada Bob.
2. Bob menerima urutan foton dan secara acak memilih basis dari dua basis dan ukuran yang sama untuk masing-masing foton.
3. Mereka kemudian membandingkan basis yang mereka pilih dan membuang yang mana mereka memilih basis berbeda. Bob harus bisa mengetahui bit apa yang Alice coba kirim. (misalnya jika dasar yang mereka gunakan adalah $\{ |0\rangle, |1\rangle \}$ dan Bob telah diukur dengan menggunakan dasar $|1\rangle$ tapi punya $0$ intensitas cahaya maka ia tahu bahwa polarisasi Alice adalah $|0\rangle$ sehingga informasi bit adalah $0$ ).
4. Agar lebih aman, mereka juga membandingkan subset bit, jika tidak ada gangguan maka bit mereka semua harus setuju. Mereka membuang bit-bit ini dan yang tersisa adalah kuncinya.

Eve, di sisi lain, sedang mencoba untuk mencegat foton dari Alice, mengukurnya secara acak dari dua pangkalan juga, kemudian dia mengirimkan dasar yang dia gunakan untuk pengukuran ke Bob. Setelah Alice & Bob membandingkan pangkalan mereka secara terbuka, Eve dapat mengetahui $25%$ kunci itu dengan pasti, meskipun dia pasti mengubah foton yang akan diterima Bob.

Jadi untuk menjawab pertanyaan pertama, ex. 2.9, saya membuat daftar skenario yang berbeda ketika Alice dan Bob membandingkan subset bit:

Misalkan Alice mengirim $|0\rangle$ ,

1. Ada $0.25$ probabilitas Hawa juga diukur dengan $|0\rangle$ , maka ia tidak akan bisa terdeteksi.

2. $0.25$ - Pengukuran Hawa menggunakan$|1\rangle$ maka dia akan mendapatkan terdeteksi pasti seperti Bob akan mendapatkan nilai bit yang berlawanan sebagai Alice.

3. $0.25$ kesempatan pengukuran Hawa menggunakan$|+\rangle$ , Bob sekarang akan menerima$|+\rangle$ , Maka jika Bob menggunakan$|0\rangle$ dan mendapatkan yang sama dengan$0.5$ kesempatan, lain jika ia menggunakan$|1\rangle$ untuk mengukur tapi masih berakhir dengan bit yang benar dengan$0.5$ kesempatan. Itu adalah$0.25 \times (0.5 + 0.5) = 0.25$

4. Sama seperti 3, 0,25

Jadi untuk meringkas kemungkinan Hawa akan tidak terdeteksi, itu $0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 3/4$ , dan kami ingin urutan bit Hawa tidak terdeteksi kurang dari $10%$ , yang menghasilkan $(\frac{3}{4})^n < 0.1$, sekitar$n=8$.

Pertanyaan kedua 2.10c, memodifikasi kondisi sedikit, alih-alih Eve memilih dari dua basis yang diketahui (standar dan $+/-$ ), dia tidak tahu mana yang harus dipilih sehingga dia memilih secara acak, lalu berapa banyak bit yang dibutuhkan A&B membandingkan memiliki 90% kepercayaan?

Pendekatan saya adalah, anggaplah Alice masih menggunakan basis standar $\{|0\rangle |1\rangle \}$ dan dia mengirimkan $|0\rangle$ . Sekarang Eve bisa mengukurnya di markasnya $\{ |e_1\rangle, |e_2\rangle \}$ mana $|e_1\rangle = \cos\theta|0\rangle + \sin\theta|1\rangle$ dan $|e_2\rangle = \sin\theta|0\rangle-\cos\theta|1\rangle$ , maka Eve mengirimkan off dasar ia gunakan untuk Bob lagi. Saya lagi daftar skenario,

1. Jika Hawa mengukur dengan $|e_1\rangle$ (dengan 0,5 kesempatan) kemudian Bob menerima $|e_1\rangle$ , maka jika langkah-langkah Bob dengan $|0\rangle$ maka ia mendapat sedikit yang benar dengan $|\cos\theta|^2$ kemungkinan, jika dia mengukur dalam $|1\rangle$ maka ia mendapat sedikit yang benar dengan $1 - |\sin\theta|^2=|\cos\theta|^2$ . Serupa ketika Hawa menggunakan $|e_2\rangle$

Singkatnya kemudian saya mendapat $0.5\times(2|\cos\theta|^2)+0.5\times(2|\sin\theta|^2)=1$ , ini pasti tidak benar!

Kemudian saya mencoba mencari online dan menemukan solusinya di sini , di mana dikatakan kemungkinan Bob mendapatkan bit yang benar adalah sebagai gantinya: $|\langle0|e_1\rangle\langle e_1|0\rangle|^2 + |\langle0|e_2\rangle\langle e_2|0\rangle|^2 =\cos^4\theta+\sin^4\theta$ , lalu integrasikan ke $[0, \frac{\pi}{2}]$(dinormalisasi dengan$\pi/2$) adalah$\frac{3}{4}$ yang lagi sama dengan di ex2.9.

Dapatkah seseorang menjelaskan mengapa itu $\cos^4\theta+\sin^4\theta$ baik dalam detail matematika dan intuisi tingkat tinggi (misalnya mengapa bahkan Hawa tidak tahu basis mana untuk menggunakannya masih memerlukan perbandingan 8 bit untuk A&B?)?

Terima kasih banyak!

Analisis Anda tentang kecurangan Hawa sepertinya tidak tepat (walaupun jawaban akhirnya benar). Yang perlu Anda katakan adalah: Anggaplah Alice menyiapkan keadaan tertentu di salah satu pangkalan. Anda bisa berasumsi itu , tetapi Anda dapat membuat argumen yang lebih umum.$|0\rangle$

• Dengan probabilitas 50%, Hawa mengukur dalam basis yang sama dengan yang disiapkan Alice (basis 0/1 dalam kasus ini). Eve dijamin untuk mendapatkan jawaban yang sama (0), dan karenanya Bob akan tetap mendapatkan jawaban yang sama (0) karena kami bekerja secara khusus dalam serangkaian kasus di mana Bob mengukur dengan dasar yang sama dengan Alice. Hawa tidak terdeteksi.

• Dengan probabilitas 50%, Hawa mengukur di dasar lainnya. Dia akan mendapat jawaban. Ini tidak benar-benar peduli apa itu (dalam hal ini, baik atau | - ⟩ ). Bob menerima apa pun keadaannya, dan mengukurnya dengan dasar aslinya, dan mendapatkan dua hasil berbeda dengan probabilitas 50:50. Eve tidak pernah belajar apa pun tentang bagian yang dipilih Alice, dan dia terdeteksi separuh waktu.$|+\rangle$$|-\rangle$

Secara keseluruhan, Hawa mempelajari nilai bit separuh waktu, dan dideteksi dalam 1/4 kasus. Sekarang, secara ketat, Anda harus rata-rata di atas semua input yang mungkin dari Alice. Tetapi ada simetri yang cukup dalam kasus sederhana ini bahwa semua hasil adalah sama.

Dalam pertanyaan kedua, Anda melewatkan satu fitur penting: jika Eve mengubah basis pengukurannya, kemungkinan dia mendapatkan hasil yang berbeda bervariasi (Anda membuatnya tetap pada 1/2).

$(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2}$

$|0\rangle=\cos\theta|e_1\rangle+\sin\theta|e_2\rangle$$\cos^2\theta$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$\cos^2\theta$$\sin^2\theta$$|e_2\rangle$$|0\rangle$$\sin^2\theta$

$$\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^2(2\theta),$$ $|0\rangle$$|1\rangle$$|+\rangle$$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$$|+\rangle=((\cos\theta+\sin\theta)|e_1\rangle-(\cos\theta-\sin\theta)|e_2\rangle)/\sqrt{2}$$|e_1\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$$|+\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$ $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4+\left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4=1-\frac12\cos^2(2\theta).$$ $$\frac12\left(1-\frac12\cos^2(2\theta)\right)+ \frac12\left(1-\frac12\sin^2(2\theta)\right)=\frac34.$$ $\theta$$\theta$$\phi$$|e_1\rangle$$(x,y)$$(r,\theta)$ $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta f(\theta,\phi),$$ $f(\theta,\phi)$$\theta,\phi$$\theta$$|e_1\rangle$$2\theta$

$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$

$$\frac12\left(\cos^2\theta+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$ $\theta$$\theta$$\theta=\frac{\pi}{8}$$\theta=0$$\pi/4$