Geometri matriks qutrit dan Gell-Mann

9

Saya membutuhkan beberapa sumber bermanfaat tentang geometri qutrit. Khusus terkait dengan representasi matriks Gell-Mann.

resource-request qutrit state-space-geometry

— Azadeh Zohrabi
sumber

4

Halo! Apa informasi spesifik yang Anda cari, tentang hubungan antara matriks Gell-Mann dan geometri qutrits? Apakah Anda bersedia sedikit memperluas pertanyaan Anda?

— Niel de Beaudrap

arxiv.org/abs/1501.00054 halaman 9. Jika ini cocok dengan yang Anda cari, saya akan memperluas lagi.

— AHusain

5

Ada banyak cara untuk menggambarkan qutrit atau sistem level umum secara geometris. Ada juga sejumlah besar referensi yang menjelaskan geometri ini atau menerapkannya pada berbagai masalah dalam informasi kuantum. Saya akan mencoba menjelaskan di sini satu metode geometris yang cukup umum, agak mendetail. $N$

Metode ini adalah generalisasi dari lingkup Bloch dari qubit, namun, case qubit mengalami degenerasi karena bola Bloch menggambarkan ruang parameter dari kedua qubit murni dan campuran (tetapi bukan case campuran maksimal), sedangkan dalam kasus umum, geometri ruang parameter tergantung pada struktur degenerasi dari nilai eigen dari matriks densitas.

Deskripsi didasarkan pada rumus diagonalisasi dari matriks kerapatan dari matriks kerapatan level umum : Di mana adalah matriks nilai eigen, yang dalam kasus paling umum memiliki bentuk: Matriks adalah matriks kesatuan dimensi, yaitu, milik grup kesatuan -dimensi . $N$

ρ = U Λ U^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

Λ = d i a g (\underset{N_{1} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$

Tentu saja, karena kita mendiagonalkan matriks kerapatan, kita harus memiliki: Memeriksa vektor eigenvalue, kita melihat bahwa aksi matriks kesatuan umum yang dimiliki oleh subkelompok membuat matriks nilai eigen tetap diagonal, oleh karena itu ruang transformasi kesatuan yang melakukan perubahan kepadatan. matriks dapat diidentifikasi dengan ruang coset:

\sum_{i = 1}^{k} N_{i} λ_{i} = 1 a n d λ_{i} \geq 0 f o r a l l i

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

\frac{U (N)}{U (N_{1}) \times U (N_{2}) \dots \times U (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$ Ruang di atas disebut orbit coadjoint. Mereka semua mengakui parameter eksplisit dalam koordinat yang memungkinkan pekerjaan aktual pada kasus-kasus tertentu. Mereka kompak, homogen dan Kähler yaitu, mereka sangat kompleks dan Riemannian. Mereka dijelaskan secara agak mendasar dalam karya Bernatska dan Holod berikut ini. Silakan lihat karya berikut oleh Loi, Mossa dan Zuddas untuk rumus parametriisasi eksplisit untuk kasus umum.

Namun, bahkan dari bentuk umum ruang coset kita dapat mengekstraksi beberapa informasi dari ruang parameter, yaitu dimensinya, yang dalam kasus umum: Dalam paragraf berikut, saya ' Saya akan menjelaskan lebih detail kasus qutrit murni. Di sini: Dan ruang yang menentukan parameter qutrit tunggal murni adalah: Ini adalah ruang proyektif kompleks dua dimensi, (memiliki dimensi nyata ).

d = N^{2} - \sum_{i} N_{i}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d i a g (1, 0, 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

C P^{2} = \frac{U (3)}{U (1) \times U (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

4

$4$

Sangat mudah untuk menentukan ruang ini karena kita tahu bahwa kita dapat menentukan (hampir) setiap ruang qutrit murni dengan menggunakan vektor satuan: Koordinat adalah koordinat kompleks dari

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

$\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{i}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{i} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{i})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

Di mana dengan indeks atas adalah bentuk symplectic terbalik. $\omega$

Perumusan qutrit ini memungkinkan banyak aplikasi dalam teori informasi kuantum, silakan lihat, misalnya, Hughston dan Salamon , di mana mereka membangun SIC-POVM menggunakan parametrization ini.

Aplikasi lain oleh Chaturvedi, Ercolessi, Marmo, Morandi, Mukunda dan Simon . Meskipun mereka tidak menguraikan parametrization di atas, tetapi mereka menunjukkan bahwa koneksi: adalah koneksi Berry yang memberikan naik ke fase Berry yang dapat digunakan dalam perhitungan kuantum holonomis untuk menghasilkan gerbang untuk sistem qutrit, Silakan lihat misalnya Boya, Perelomov dan Santander dan Khanna, Mukhopadhyay, Simon dan Mukunda .

A_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$

Salah satu properti yang sangat penting dari ruang parameter keadaan murni adalah bahwa ada interpretasi geometris dari probabilitas pengukuran sebagai berikut: Ruang projektif yang kompleks parametrizing keadaan murni dilengkapi dengan metrik yang disebut metrik Studi-Fubini . Probabilitas pengukuran atas diamati, (misalnya salah satu dari matriks Gell-Mann) sebanding dengan panjang geodesik dari titik mewakili negara ke titik yang mewakili diamati eigenstate proyektor di . Silakan lihat karya penting oleh Ashtekar dan Schilling . Sejauh yang saya tahu generalisasi dari properti ini ke kasus negara campuran belum ditemukan. $\mathbb{C}P^N$

Dalam kasus , metrik Fubini-Study diberikan oleh: $\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— David Bar Moshe
sumber

Makalah yang saya tautkan dalam komentar adalah tulisan Ercolessi et al tentang yang terkait dengan informasi Fisher

ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

— AHusain

1

@ Yahusain Terima kasih untuk referensi! dan terima kasih telah menyebutkan hubungan metrik dengan matriks informasi Fisher. Sebenarnya, persamaan pertama di atas untuk bentuk KKS identik dengan persamaan dalam Proposisi II.2 mereka. , dinyatakan dalam koordinat kompleks. Seperti yang saya sebutkan, penulis ini tidak menggunakan parametrization kompleks yang sama. Mereka lebih suka bekerja pada ruang singgung. Hal ini dimungkinkan karena manifoldnya homogen, namun sulit untuk mengevaluasi dalam parametriisasi jumlah geometris global seperti berapa volume ruang negara.

— David Bar Moshe

1

Ya itu sulit. Manifold yang sama dengan struktur informasi Fisher bukannya struktur Kahler jauh lebih jelek. Penulis makalah itu dan saya telah mencoba melihat perbedaan antara fase Berry dari dua struktur, tetapi tidak ada yang cantik.

— AHusain

3

I need some useful sources about the geometry of qutrit.

Sumber daya yang paling berguna yang saya tahu pada geometri qutrits adalah kertas Geometri dari bola Bloch umum untuk qutrits .

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

Kedelapan matriks Gell-Mann, yang merupakan salah satu generalisasi dari matriks Pauli ke sistem 3-level, terlibat dalam apa yang kadang-kadang disebut "representasi Bloch dari qutrit". Ini dijelaskan pada halaman 4 dari kertas terkait di atas.

Jika Anda tertarik pada matematika geometri qutrits, sumber daya di atas mungkin adalah yang terbaik yang tersedia. Jika Anda lebih tertarik dengan visualisasi qutrits, kertas Visualisasi tiga dimensi qutrit adalah sumber daya terbaik yang saya tahu. Perlu diingat bahwa generalisasi bola Bloch untuk qudit dimensi yang lebih tinggi tidak akan pernah sesederhana dan seanggun bola Bloch untuk sistem 2 tingkat, seperti halnya bola 4D hiper-bola tidak mudah divisualisasikan seperti bola 3D.

— pengguna1271772
sumber