Apakah ada aturan sederhana untuk kebalikan dari tabel stabilizer sirkuit Clifford?

Dalam Simulasi Peningkatan Sirkuit Stabilizer oleh Aaronson dan Gottesman, dijelaskan bagaimana menghitung tabel yang menggambarkan produk tensor Pauli yang mana X dan Z yang dapat diamati dari setiap qubit yang dipetakan sebagai sirkuit Clifford yang menindakinya.

Di sini sebagai contoh sirkuit Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Dan tabel yang menggambarkan bagaimana kerjanya pada X dan Z yang dapat diamati dari setiap qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Setiap kolom dari tabel menggambarkan bagaimana rangkaian bekerja pada X yang dapat diamati (setengah kolom kiri) dan Z yang dapat diamati (setengah kolom kanan) dari masing-masing qubit. Misalnya, sisi kiri kolom 3 adalah Z, Z, _, X yang berarti operasi X3 (Pauli X pada qubit 3) di sisi kanan sirkuit setara dengan operasi Z1 * Z2 * X4 di sebelah kiri sisi sirkuit. Baris 'tanda' menunjukkan tanda produk, yang penting jika Anda akan mensimulasikan pengukuran (ini memberi tahu Anda apakah membalikkan hasilnya atau tidak).

Anda juga dapat menghitung tabel untuk kebalikan dari suatu rangkaian. Dalam contoh kasus yang saya berikan, tabel terbalik adalah ini:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Tabel terlihat hampir sama jika Anda memindahkan baris dan kolomnya. Tetapi entri tidak persis sama. Selain mentransposisi, Anda harus menyandikan huruf ke dalam bit ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) lalu menukar bit tengah lalu mendekode. Misalnya, ZZ mengkodekan ke 1010 yang bertukar menjadi 1100 yang diterjemahkan ke Y_.

Pertanyaan saya adalah: apakah ada juga aturan sederhana untuk menghitung tanda tabel invers?

Saat ini saya membalik tabel-tabel ini dengan menguraikannya ke dalam sirkuit, membalikkan sirkuit, lalu mengalikannya kembali menjadi satu. Ini sangat tidak efisien dibandingkan dengan transpos + ganti, tetapi jika saya akan menggunakan transpos + ganti saya perlu aturan tanda.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
sumber

Untuk memperjelas pertanyaan: Biarkan sirkuit Clifford menjadi

. Kemudian membaca kolom

'th memberikan

dan

tergantung pada bagian kiri atau kanan yang digunakan. Dan Anda ingin

dan

sebagai gantinya dari data ini.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@ Yahusain Benar.

— Craig Gidney

Untuk mengklarifikasi pertanyaan: apa arti dari @ s di sirkuit Clifford Anda?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Itu adalah kontrol. Ketika dua terhubung, itu adalah gerbang CZ. @ terhubung ke X adalah X yang terkontrol. @ terhubung ke Y adalah Y-terkontrol.

— Craig Gidney

Jawaban:

Ada representasi yang sangat erat terkait dengan representasi tablo dari Aaronson (dan Gottesman) , yang bekerja tidak hanya untuk qubit tetapi untuk qudit dimensi terbatas sewenang-wenang, yang bekerja sangat baik untuk sirkuit Clifford murni ( yaitu pada sebagian besar satu pengukuran terminal).

Dalam representasi alternatif ini, kita memiliki tabel yang menggambarkan bagaimana operator X-Z single-qubit dan transformasi, dengan informasi fase, seperti dalam representasi biasa. Kolom menggambarkan operator Weyl multi-qubit secara khusus, yang merupakan subset khusus dari operator Pauli. Keuntungan melakukannya adalah bahwa tablo bukan hanya array koefisien, tetapi operator linear aktual pada vektor yang mewakili operator Weyl dan fase.

Ada tangkapan kecil. Untuk qubit, vektor-vektor ini memiliki koefisien yang merupakan bilangan bulat modulo 4 (sesuai dengan penutup ganda dari operator Pauli-qubit tunggal-non-sepele oleh operator Weyl), daripada modulo 2. Saya pikir ini adalah harga kecil yang harus dibayar - meskipun saya mungkin sedikit bias, karena ini hasil saya sendiri [ arXiv: 1102.3354 ]. Namun, tampaknya memang representasi yang agak 'alami': Appleby mengembangkan kasus khusus single-qubit atau qudit agak lebih awal [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (sesuatu yang ingin saya ketahui sebelum menghabiskan dua tahun menciptakan kembali konvensi yang sama).

Menggunakan representasi seperti itu, berdasarkan fakta bahwa 'tablo' $M_C$ dari sirkuit Clifford $C$ sekarang merupakan matriks aktual (dan yang tidak dapat dibalik) yang mengubah vektor, tablo untuk sirkuit invers $C^{\dagger}$ kemudian invers $M_C^{-1}$ dari tablo. Jadi, setidaknya untuk representasi yang terkait erat ini, aturan untuk menghitung tablo untuk sirkuit terbalik mudah.

— Niel de Beaudrap
sumber

Bisakah Anda menautkan ke slide atau catatan kuliah yang menggambarkan operator Weyl?

— Craig Gidney

Apakah ini terkait dengan penggantian "basis Pauli" {I, X, Y, Z} dengan "basis angka empat" {I, iX, iY, iZ} saat melacak vektor produk?

— Craig Gidney

Agaknya ketika berbicara tentang qubit, kertas asli adalah ini salah satu

— DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@ DavidWullie: Tidak, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] sangat berbeda. Mereka mengindeks kekuatan X dan Z dengan mod 2 vektor (lihat teks sebelum Persamaan.2), yang tercermin dalam struktur kelompok aditif GF (4). Pengamatan mereka tentang transformasi symplectic pada hal.8 dengan demikian berlaku untuk fase modulo grup Pauli. Appleby dan saya tidak mengklaim sebagai yang pertama untuk memiliki representasi mewah untuk grup Pauli di qubit: intinya adalah bahwa representasi kami lebih anggun melacak fase. Itu kurang penting untuk menemukan QECCs, tetapi penting untuk mensimulasikan keadaan.

— Niel de Beaudrap

$2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

Kekacauan, tentu saja, berasal dari melacak fase. Saya kira tanda-tanda akan terkait dengan perubahan jumlah operator Y di setiap stabilizer, tapi saya belum berhasil dalam perawatan terpadu. Jawaban Niel mungkin melakukan pekerjaan yang lebih baik untuk mengurusnya secara otomatis.

— DaftWullie
sumber