Bisakah bola Bloch digeneralisasi menjadi dua qubit?

Bola Bloch adalah visualisasi bagus status qubit tunggal. Secara matematis, ia dapat digeneralisasikan ke sejumlah qubit dengan menggunakan hypersphere dimensi tinggi. Tetapi hal-hal seperti itu tidak mudah untuk divisualisasikan.

Upaya apa yang telah dilakukan untuk memperluas visualisasi berdasarkan lingkup Bloch ke dua qubit?

Untuk keadaan murni, ada cara yang cukup sederhana untuk membuat "bola 2 qubit bloch" . Anda pada dasarnya menggunakan dekomposisi Schmidt untuk membagi negara Anda menjadi dua kasus: tidak terjerat dan sepenuhnya terjerat. Untuk bagian yang tidak terjerat, Anda hanya menggunakan dua bola bloch. Dan kemudian bagian terjerat adalah isomorfik ke himpunan rotasi yang mungkin dalam ruang 3d (rotasi adalah bagaimana Anda menerjemahkan pengukuran pada satu qubit menjadi prediksi pada qubit lainnya). Ini memberi Anda representasi dengan delapan parameter nyata:

1) Nilai nyata w antara 0 dan 1 yang menunjukkan berat tidak terjerat vs sepenuhnya terjerat.

2 + 3) Unit vektor bloch tidak terjerat untuk qubit 1.

4 + 5) Vektor unit bloch yang tidak terjerat untuk qubit 2.

6 + 7 + 8) Rotasi sepenuhnya terjerat.

Ini terlihat seperti jika Anda menunjukkan bagian rotasi sebagai "di mana sumbu XY dan Z dipetakan", dan juga skala sumbu oleh w sehingga semakin besar semakin terjerat Anda:

(Memantul di tengah adalah karena degenerasi numerik dalam kode saya.)

Untuk negara campuran, saya telah sedikit berhasil menunjukkan amplop vektor bloch yang diprediksi untuk qubit 2 mengingat setiap kemungkinan pengukuran qubit 1. Itu terlihat seperti ini:

Tetapi perhatikan bahwa a) representasi 'amplop' ini tidak simetris (salah satu qubit adalah kontrol dan yang lain adalah target) dan b) meskipun terlihat cantik namun tidak kompak secara aljabar.

Tampilan ini tersedia di cabang tampilan qu-entanglement-quirk alternatif . Jika Anda dapat mengikuti instruksi pembuatan, maka Anda dapat bermain dengannya secara langsung.

Karena representasi putaran $j$ tidak dapat direduksi dari $SU(2)$ memiliki dimensi $2j+1$ ( $j$ adalah setengah bilangan bulat), setiap ruang Hilbert dimensi hingga dapat diperoleh sebagai ruang representasi $SU(2)$ . Selain itu, karena semua representasi tak tereduksi $SU(2)$ adalah produk tensor simetris dari representasi spinor fundamental, oleh karena itu setiap ruang Hilbert dimensi hingga dapat dianggap sebagai produk tensor simetris dari fundamental $SU(2)$ ruang representasi mendasar.

Ini adalah dasar dari konstruksi representasi bintang Majorana. Keadaan qudit yang tinggal di ruang Hilbert dimensi $2j+1$ dapat diwakili oleh $2j$ titik j di bola Bloch. Vektor state dapat direkonstruksi dari vektor spin $2j$ (2-dimensi) dari $2j$ oleh produk tensor simetri.

$2j+1$

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$ adalah koordinat bola))

Salah satu aplikasi representasi ini untuk perhitungan kuantum, adalah dalam visualisasi lintasan yang memunculkan fase geometris, yang berfungsi sebagai gerbang dalam perhitungan kuantum holonomis. Lintasan-lintasan ini tercermin sebagai lintasan bintang-bintang Majorana pada bola Bloch dan fase-fase geometris dapat dihitung dari sudut-sudut padat yang diliputi oleh lintasan-lintasan ini. Silakan lihat karya Liu dan Fu pada fase geometris Abelian. Perawatan beberapa kasus non-Abelian diberikan oleh Liu Roy dan Stone .

Akhirnya, izinkan saya berkomentar bahwa ada banyak representasi geometris yang relevan dengan perhitungan kuantum, tetapi mereka multidimensi dan mungkin tidak berguna secara umum sebagai alat visualisasi. Silakan lihat misalnya Bernatska dan Holod memperlakukan orbit coadjoint yang dapat berfungsi sebagai ruang fase dari ruang Hilbert dimensi hingga yang digunakan dalam perhitungan kuantum. The Grassmannian yang parametrizes keadaan dasar berjenis Hamiltonian kuantum adiabatik adalah contoh khusus dari ruang-ruang ini.

Untuk visualisasi lebih dari 1-qubit, kita akan membutuhkan visualisasi yang lebih kompleks daripada bola Bloch. Jawaban di bawah dari Physics Stack Exchange menjelaskan konsep ini dengan cukup otoritatif:

Lingkup Bloch untuk 2 dan lebih banyak qubit

Dalam artikel lain, representasi dua qubit digambarkan sebagai bola tujuh dimensi, S 7, yang juga memungkinkan untuk fibasi Hopf, dengan serat S 3 dan basis S 4. Hasil yang paling mencolok adalah bahwa fibrasi S 7 Hopf yang sesuai dan berorientasi pada belitan.

Geometri keadaan terjerat, bola Bloch, dan Hopf fibrations

Karena itu, pendekatan berbasis bola Bloch cukup berguna bahkan untuk memodelkan perilaku qubit di lingkungan yang bising. Telah ada analisis sistem dua-qubit dengan menggunakan vektor Bloch yang digeneralisasi untuk menghasilkan persamaan analitik yang dapat ditelusuri untuk dinamika vektor Bloch empat tingkat. Ini didasarkan pada penerapan konsep-konsep geometris dari bola Bloch dua tingkat yang terkenal.

Kita dapat menemukan bahwa di hadapan kebisingan berkorelasi atau anti-berkorelasi, tingkat dekoherensi sangat sensitif terhadap keadaan dua-qubit awal, serta simetri Hamiltonian. Dengan tidak adanya simetri di Hamiltonian, korelasi hanya berdampak lemah pada tingkat dekoherensi:

Pendekatan Bloch-sphere terhadap noise berkorelasi dalam qubit berpasangan

Ada artikel penelitian lain yang menarik tentang representasi keadaan murni dua-qubit yang diparameterisasi oleh tiga unit 2-bola dan faktor fase. Untuk status yang dapat dipisahkan, dua dari tiga unit bola adalah bola Bloch masing-masing qubit dengan koordinat (A , A) dan (B, B). Bola ketiga parameterisasi derajat dan fase persetujuan, ukuran keterjeratan.

Bola ini dapat dianggap sebagai unit imajiner kompleks 'variabel' t di mana proyeksi stereografis memetakan bola qubit-A Bloch ke bidang kompleks dengan unit imajiner variabel ini. Model bola Bloch ini memberikan deskripsi yang konsisten tentang kondisi murni dua-qubit untuk kondisi terpisah dan terjerat.

Sesuai hipotesis ini, bola ketiga (entanglement sphere) parameterisasi sifat nonlokal, belitan dan fase relatif nonlokal, sedangkan fase relatif lokal parameter dengan sudut azimut, A dan B, dari dua bola quasi-Bloch.

Model bulatan Bloch untuk dua

Kami memiliki beberapa visualisasi multiqubit dalam paket Black Opal Q-CTRL .

Ini semua sepenuhnya interaktif dan dirancang untuk membantu membangun intuisi tentang korelasi dalam berinteraksi sistem dua-qubit.

Dua bola Bloch mewakili keadaan terpisah yang relevan dari dua qubit. Tetrahedra di tengah secara visual menangkap korelasi antara proyeksi tertentu dari dua qubit. Ketika tidak ada keterikatan, vektor Bloch hidup sepenuhnya di permukaan masing-masing bola. Namun, negara yang sepenuhnya terjerat hidup secara eksklusif dalam ruang korelasi dalam representasi ini. Ekstrem dari ruang-ruang ini akan selalu menjadi keadaan terjerat secara maksimal seperti keadaan Bell, tetapi status terjerat secara maksimal juga dapat berada dalam beberapa tetrahedra secara bersamaan.

Sebuah makalah telah diterbitkan pada subjek, yang disebut "model bola Bloch untuk negara murni dua-qubit"

https://arxiv.org/abs/1403.8069