Bisakah bola Bloch digeneralisasi menjadi dua qubit?


16

Bola Bloch adalah visualisasi bagus status qubit tunggal. Secara matematis, ia dapat digeneralisasikan ke sejumlah qubit dengan menggunakan hypersphere dimensi tinggi. Tetapi hal-hal seperti itu tidak mudah untuk divisualisasikan.

Upaya apa yang telah dilakukan untuk memperluas visualisasi berdasarkan lingkup Bloch ke dua qubit?


4
terkait dengan physics.SE: physics.stackexchange.com/q/41223/58382
glS

Jawaban:


13

Untuk keadaan murni, ada cara yang cukup sederhana untuk membuat "bola 2 qubit bloch" . Anda pada dasarnya menggunakan dekomposisi Schmidt untuk membagi negara Anda menjadi dua kasus: tidak terjerat dan sepenuhnya terjerat. Untuk bagian yang tidak terjerat, Anda hanya menggunakan dua bola bloch. Dan kemudian bagian terjerat adalah isomorfik ke himpunan rotasi yang mungkin dalam ruang 3d (rotasi adalah bagaimana Anda menerjemahkan pengukuran pada satu qubit menjadi prediksi pada qubit lainnya). Ini memberi Anda representasi dengan delapan parameter nyata:

1) Nilai nyata w antara 0 dan 1 yang menunjukkan berat tidak terjerat vs sepenuhnya terjerat.

2 + 3) Unit vektor bloch tidak terjerat untuk qubit 1.

4 + 5) Vektor unit bloch yang tidak terjerat untuk qubit 2.

6 + 7 + 8) Rotasi sepenuhnya terjerat.

Ini terlihat seperti jika Anda menunjukkan bagian rotasi sebagai "di mana sumbu XY dan Z dipetakan", dan juga skala sumbu oleh w sehingga semakin besar semakin terjerat Anda:

entangled view

(Memantul di tengah adalah karena degenerasi numerik dalam kode saya.)

Untuk negara campuran, saya telah sedikit berhasil menunjukkan amplop vektor bloch yang diprediksi untuk qubit 2 mengingat setiap kemungkinan pengukuran qubit 1. Itu terlihat seperti ini:

mixed state envelope

Tetapi perhatikan bahwa a) representasi 'amplop' ini tidak simetris (salah satu qubit adalah kontrol dan yang lain adalah target) dan b) meskipun terlihat cantik namun tidak kompak secara aljabar.

Tampilan ini tersedia di cabang tampilan qu-entanglement-quirk alternatif . Jika Anda dapat mengikuti instruksi pembuatan, maka Anda dapat bermain dengannya secara langsung.


8

Karena representasi putaran j tidak dapat direduksi dari SU(2) memiliki dimensi 2j+1 ( j adalah setengah bilangan bulat), setiap ruang Hilbert dimensi hingga dapat diperoleh sebagai ruang representasi SU(2) . Selain itu, karena semua representasi tak tereduksi SU(2) adalah produk tensor simetris dari representasi spinor fundamental, oleh karena itu setiap ruang Hilbert dimensi hingga dapat dianggap sebagai produk tensor simetris dari fundamental SU(2) ruang representasi mendasar.

Ini adalah dasar dari konstruksi representasi bintang Majorana. Keadaan qudit yang tinggal di ruang Hilbert dimensi 2j+1 dapat diwakili oleh 2j titik j di bola Bloch. Vektor state dapat direkonstruksi dari vektor spin 2j (2-dimensi) dari 2j oleh produk tensor simetri.

2j+1

|ψ=m=jjCm|j,m,
k=02j(1)kCjk(2jk)!k!z2jk=0.

z=tanθeiϕθϕ adalah koordinat bola))

Salah satu aplikasi representasi ini untuk perhitungan kuantum, adalah dalam visualisasi lintasan yang memunculkan fase geometris, yang berfungsi sebagai gerbang dalam perhitungan kuantum holonomis. Lintasan-lintasan ini tercermin sebagai lintasan bintang-bintang Majorana pada bola Bloch dan fase-fase geometris dapat dihitung dari sudut-sudut padat yang diliputi oleh lintasan-lintasan ini. Silakan lihat karya Liu dan Fu pada fase geometris Abelian. Perawatan beberapa kasus non-Abelian diberikan oleh Liu Roy dan Stone .

Akhirnya, izinkan saya berkomentar bahwa ada banyak representasi geometris yang relevan dengan perhitungan kuantum, tetapi mereka multidimensi dan mungkin tidak berguna secara umum sebagai alat visualisasi. Silakan lihat misalnya Bernatska dan Holod memperlakukan orbit coadjoint yang dapat berfungsi sebagai ruang fase dari ruang Hilbert dimensi hingga yang digunakan dalam perhitungan kuantum. The Grassmannian yang parametrizes keadaan dasar berjenis Hamiltonian kuantum adiabatik adalah contoh khusus dari ruang-ruang ini.


Saya tahu mereka butuh waktu untuk menemukan atau menghasilkan, tetapi apakah ada kemungkinan Anda bisa menggambarkan jawaban ini dengan visualisasi seperti itu? Mungkin contoh gerbang CNOT?
Phil H

Secara umum, transformasi kesatuan suatu negara akan memindahkan konstelasi ke lokasi baru sedemikian sehingga koordinat bintang dalam keadaan akhir bergantung secara aljabar pada semua koordinat semua bintang di keadaan awal. Namun, dalam kasus-kasus sederhana, kita dapat melakukan perhitungan dengan inspeksi sederhana. Silakan lihat misalnya Bengtsson dan Życzkowski: researchgate.net/profile/Karol_Zyczkowski/publication/… halaman 103, gambar 4.7,
David Bar Moshe

lanjutan di mana misalnya, tindakan gerbang CNOT pada negara dengan tiga bintang di kutub utara menggeser salah satu bintang ke kutub selatan sambil menjaga dua bintang lainnya tetap di tempatnya.
David Bar Moshe

5

Untuk visualisasi lebih dari 1-qubit, kita akan membutuhkan visualisasi yang lebih kompleks daripada bola Bloch. Jawaban di bawah dari Physics Stack Exchange menjelaskan konsep ini dengan cukup otoritatif:

Lingkup Bloch untuk 2 dan lebih banyak qubit

Dalam artikel lain, representasi dua qubit digambarkan sebagai bola tujuh dimensi, S 7, yang juga memungkinkan untuk fibasi Hopf, dengan serat S 3 dan basis S 4. Hasil yang paling mencolok adalah bahwa fibrasi S 7 Hopf yang sesuai dan berorientasi pada belitan.

Geometri keadaan terjerat, bola Bloch, dan Hopf fibrations

Karena itu, pendekatan berbasis bola Bloch cukup berguna bahkan untuk memodelkan perilaku qubit di lingkungan yang bising. Telah ada analisis sistem dua-qubit dengan menggunakan vektor Bloch yang digeneralisasi untuk menghasilkan persamaan analitik yang dapat ditelusuri untuk dinamika vektor Bloch empat tingkat. Ini didasarkan pada penerapan konsep-konsep geometris dari bola Bloch dua tingkat yang terkenal.

Kita dapat menemukan bahwa di hadapan kebisingan berkorelasi atau anti-berkorelasi, tingkat dekoherensi sangat sensitif terhadap keadaan dua-qubit awal, serta simetri Hamiltonian. Dengan tidak adanya simetri di Hamiltonian, korelasi hanya berdampak lemah pada tingkat dekoherensi:

Pendekatan Bloch-sphere terhadap noise berkorelasi dalam qubit berpasangan

Ada artikel penelitian lain yang menarik tentang representasi keadaan murni dua-qubit yang diparameterisasi oleh tiga unit 2-bola dan faktor fase. Untuk status yang dapat dipisahkan, dua dari tiga unit bola adalah bola Bloch masing-masing qubit dengan koordinat (A , A) dan (B, B). Bola ketiga parameterisasi derajat dan fase persetujuan, ukuran keterjeratan.

Bola ini dapat dianggap sebagai unit imajiner kompleks 'variabel' t di mana proyeksi stereografis memetakan bola qubit-A Bloch ke bidang kompleks dengan unit imajiner variabel ini. Model bola Bloch ini memberikan deskripsi yang konsisten tentang kondisi murni dua-qubit untuk kondisi terpisah dan terjerat.

Sesuai hipotesis ini, bola ketiga (entanglement sphere) parameterisasi sifat nonlokal, belitan dan fase relatif nonlokal, sedangkan fase relatif lokal parameter dengan sudut azimut, A dan B, dari dua bola quasi-Bloch.

Model bulatan Bloch untuk dua


3
Apakah mungkin untuk sedikit memperluas komentar ini? Daripada menautkan ke artikel-artikel ini, akan lebih baik untuk menggambarkan ide-ide yang relevan dalam beberapa detail untuk menjaga jawabannya tetap lengkap. (Juga, dalam jawaban ketiga Anda dalam posting ini, simbol tidak diterjemahkan dengan benar ...)
Niel de Beaudrap

Di dekat "sudut azimut" : Ada apa sebelum "A" dan "B"? Firefox menunjukkannya sebagai "F066". Juga di dekat "qubit dengan koordinat" , sebelum A dan B (total empat), dua di antaranya "F071"?
Peter Mortensen

4

Kami memiliki beberapa visualisasi multiqubit dalam paket Black Opal Q-CTRL .

Ini semua sepenuhnya interaktif dan dirancang untuk membantu membangun intuisi tentang korelasi dalam berinteraksi sistem dua-qubit.

Dua bola Bloch mewakili keadaan terpisah yang relevan dari dua qubit. Tetrahedra di tengah secara visual menangkap korelasi antara proyeksi tertentu dari dua qubit. Ketika tidak ada keterikatan, vektor Bloch hidup sepenuhnya di permukaan masing-masing bola. Namun, negara yang sepenuhnya terjerat hidup secara eksklusif dalam ruang korelasi dalam representasi ini. Ekstrem dari ruang-ruang ini akan selalu menjadi keadaan terjerat secara maksimal seperti keadaan Bell, tetapi status terjerat secara maksimal juga dapat berada dalam beberapa tetrahedra secara bersamaan.

enter image description here


1
Apakah Anda dapat menggambarkan representasi ini? Alangkah baiknya jika Anda bisa mengembangkan ini menjadi jawaban yang lengkap.
Niel de Beaudrap

diedit untuk menambah materi lebih lanjut.
Michael Biercuk

Terima kasih @MichaelBiercuk, dan senang bertemu Anda di sini.
James Wootton

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.