Isomorfisme antara kelompok Clifford dan angka empat

Bagaimana cara menemukan isomorfisme eksplisit antara unsur-unsur kelompok Clifford dan sekitar 24 angka empat?

Bagian yang mudah: Penggandaan matriks harus sesuai dengan penggandaan angka empat.

Matriks identitas $I$ harus dipetakan ke angka empat $1$ .

Bagian yang sulit: Untuk apa elemen-elemen lain dari kelompok Clifford harus dipetakan? Karena elemen-elemen berikut ini menghasilkan seluruh grup, pemetaan ini sudah cukup:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] and P = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\text{ and }P=\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}$

Adakah yang bisa membantu?

clifford-group

— Simpul Log
sumber

Angka empat diwakili dengan setia dalam dua dimensi oleh matriks unit dan matriks Pauli dikalikan dengan unit imajiner: $i = \sqrt{-1} X$ , $j = \sqrt{-1} Y$ dan $k = \sqrt{-1} Z$ masing-masing, sehingga Anda hanya perlu menulis $H$ dan $P$ kombinasi linier: $H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$ dan $P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Namun, ini bukan isomorfisme antara kelompok Clifford dan angka empat, karena di sini kita menggunakan angka empat sebagai aljabar, bukan kelompok. Apa yang dapat dikatakan bahwa kelompok Clifford adalah isomorfis terhadap subkelompok unsur yang dapat dibalik dari aljabar angka empat.

Istilah grup Quaternion dicadangkan untuk subkelompok elemen aljabar kuaternion yang terdiri dari $\pm 1$ , $\pm (-iX = R_x(\pi))$ , $\pm (-iY = R_y(\pi))$ dan $\pm (-iZ = R_z(\pi))$ . Grup ini disebut grup angka empat. Grup ini dapat dihasilkan oleh $\pi$ rotasi di sekitar dua sumbu utama. Namun, kelompok angka-8 urutan tidak isomorfik dengan kelompok-24 Clifford kelompok, yang dapat dihasilkan oleh $\frac{\pi}{2}$ rotasi di sekitar dua sumbu utama. Kelompok Clifford dalam arti tertentu adalah akar kuadrat dari kelompok angka empat.

Klarifikasi

@Not Log, Maaf saya telah menyesatkan Anda pada dua poin:

1) Unit imajiner angka empat harus direpresentasikan sebagai $i = \sqrt{-1} X$ , $j = \sqrt{-1} Y$ , $k = \sqrt{-1} Z$ , karena mereka harus kuadrat ke $-1$ (saya telah mengoreksi bahwa dalam teks utama).

$\sqrt{-1}$ $i$ $H$ $P$

$H$ $P$ $\mathbb{Z}_8$

$24$ $R_x(\frac{\pi}{2})$ $R_z(\frac{\pi}{2})$

— David Bar Moshe
sumber

Terima kasih atas klarifikasi Anda pada grup Clifford / aljabar / angka empat / kelompok Clifford. Anda menyatakan pertanyaan saya sebagai, "Apa yang bisa dikatakan bahwa grup Clifford isomorfis terhadap subkelompok elemen aljabar angka empat yang tidak dapat dibalik." Apakah Anda memiliki gagasan tentang cara menentukan angka empat ini?

— Knot Log

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (X + Z)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P

$P$

1

$1$

Z

$Z$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P = \frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2} k

$P=\frac{1+i}{2}+\frac{1-i}{2}k$

Anda benar. Jika setelah memperoleh 48 angka empat ini, Anda menganggap kelas kesetaraan mengabaikan tanda minus , maka ada isomorfisma dengan 24 elemen dari grup Clifford. Terima kasih!

— Knot Log

@ Catatan Log, Maaf saya telah menyesatkan Anda pada dua poin, saya telah menambahkan klarifikasi dalam pembaruan.

— David Bar Moshe