Mendekati matriks kesatuan

Saat ini saya memiliki 2 matriks kesatuan yang ingin saya perkirakan dengan presisi yang baik dengan kemungkinan gerbang kuantum yang lebih sedikit.

Dalam kasus saya dua matriks adalah:

Akar kuadrat dari gerbang NOT (hingga fase global) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut:

Bagaimana saya bisa memperkirakan matriks spesifik ini dengan gerbang kuantum yang lebih sedikit mungkin dan presisi yang baik?

Apa yang saya ingin dapat mampu memilikinya:

Saya mampu menggunakan beberapa hari / minggu waktu CPU dan banyak RAM.
Saya mampu menghabiskan 1 atau 2 hari manusia untuk mencari trik matematika (dalam upaya terakhir, itu sebabnya saya bertanya di sini dulu). Kali ini tidak termasuk waktu saya perlu mengimplementasikan algoritma hipotetis yang digunakan untuk poin pertama.
Saya ingin dekomposisi hampir tepat. Saya tidak memiliki target presisi saat ini, tetapi 2 gerbang di atas digunakan secara luas oleh sirkuit saya dan saya tidak ingin kesalahan menumpuk terlalu banyak.
Saya ingin dekomposisi menggunakan gerbang kuantum sesedikit mungkin. Poin ini adalah yang kedua untuk saat ini.
Metode yang baik akan membiarkan saya memilih trade-off yang saya inginkan antara jumlah gerbang kuantum dan ketepatan perkiraan. Jika ini tidak memungkinkan, akurasi setidaknya $10^{-6}$ (dalam hal norma penelusuran) mungkin (seperti yang dikatakan sebelumnya, saya tidak memiliki perkiraan sehingga saya tidak yakin dengan ambang batas ini) diperlukan.
Set gerbang adalah: ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{x}, R_{y}, R_{z}, CX, MENUKAR, iSWAP, \sqrt{MENUKAR}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ dengan $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ seperti yang dijelaskan dalamWikipédia, $R_A$ rotasi sehubungan dengan kapak $A$ ( $A$ adalah baik $X$ , $Y$ atau $Z$ ) dan $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & saya & 0 \\ 0 & saya & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Metode yang saya tahu tentang:

Algoritma Solovay-Kitaev. Saya memiliki implementasi dari algoritma ini dan sudah mengujinya pada beberapa matriks kesatuan. Algoritma menghasilkan urutan yang cukup panjang dan trade-off [jumlah gerbang kuantum] VS [presisi perkiraan] tidak cukup parametrisable. Namun demikian, saya akan menjalankan algoritma pada gerbang ini dan mengedit pertanyaan ini dengan hasil yang saya peroleh.
Dua makalah tentang pendekatan gerbang 1-qubit dan pendekatan gerbang n-qubit . Saya juga perlu menguji algoritma ini.

EDIT: mengedit pertanyaan untuk membuat "akar kuadrat dari tidak" lebih jelas.

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Awal
sumber

Apakah Anda memiliki pengaturan gerbang tertentu dan apakah ada alasan Anda tidak dapat mengimplementasikan

secara native / langsung pada qubit?

G

$G$

— Mithrandir24601

Diedit dengan tepat set gerbang yang ada dalam pikiran saya :)

— Nelimee

Sepertinya W dapat dilakukan dengan sqrt (SWAP) yang tepat + satu gerbang CNOT + single-qubit.

— Norbert Schuch

Saya ingin tahu tentang apa yang Anda coba lakukan dengan ini, jika Anda tidak keberatan menguraikan.

— psitae

Kedua gerbang ini muncul di sirkuit kuantum untuk mensimulasikan orang Hamilton yang sangat sederhana (hamiltonian 1-jarang dengan hanya entri nyata atau hanya entri imajiner). Tesis yang menguraikan hal ini cukup sulit diperoleh. Satu-satunya cara yang saya temukan adalah meminta salinan di sini dan menunggu jawaban di kotak surat Anda :)

— Nelimee

Anda telah memilih dua matriks yang sangat sederhana untuk diimplementasikan.

Operasi pertama (G) hanyalah akar kuadrat dari gerbang X (hingga fase global):

Di set gerbang Anda, ini adalah $R_X(\pi/2)$ .

Operasi kedua (W) adalah matriks Hadamard di blok 2x2 tengah dari matriks jika tidak identitas. Setiap kali Anda melihat pola 2x2-in-the-middle ini, Anda harus berpikir "operasi terkontrol terkonjugasi oleh CNOT". Dan itulah yang bekerja di sini (catatan: Anda mungkin perlu menukar garis; tergantung pada konvensi endianness Anda):

Jadi satu-satunya masalah adalah bagaimana mengimplementasikan operasi Hadamard yang terkontrol. Hadamard adalah rotasi 180 derajat di sekitar sumbu X + Z. Anda dapat menggunakan rotasi 45 derajat di sekitar sumbu Y untuk memindahkan sumbu X + Z ke sumbu X, lalu lakukan CNOT di tempat CH, lalu gerakkan sumbu ke belakang:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
sumber

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

Konstruksinya optimal dalam arti bahwa ia membutuhkan dua gerbang CNOT dan paling banyak 12 gerbang qubit tunggal (untuk kasus paling umum dari gerbang dua qubit asli). Konstruksi didasarkan pada homomorfisme:

S HAI (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = M. U {M.}^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

Dengan menggunakan konstruksi ini, implementasi gerbang penuh yang diberikan oleh Vatan dan Williams adalah:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
sumber

Tidak satu pun dari gerbang ini yang membutuhkan perkiraan urutan. Anda dapat mengimplementasikannya tepat dengan set gerbang yang Anda tentukan tanpa usaha keras.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
sumber