Bagaimana mungkin untuk mengimplementasikan operator kesatuan ketika ukurannya eksponensial dalam input?

Sirkuit kuantum dapat menggunakan operator kesatuan apa pun. Matriksnya eksponensial dalam jumlah bit input. Dalam praktiknya bagaimana ini bisa dimungkinkan (selain dari operator yang merupakan produk tensor), yaitu bagaimana Anda dapat membuat matriks ukuran eksponensial?

Kuncinya adalah Anda tidak benar - benar membuat matriks. Ya, jika Anda ingin mensimulasikan perhitungan kuantum pada komputer klasik, salah satu metode adalah untuk membangun matriks kesatuan yang sesuai, dan ini pada dasarnya mengapa (kecuali ada struktur khusus) tidak mungkin untuk melakukan simulasi klasik komputasi kuantum secara efisien.

$n$$2^n\times 2^n$

Operasi kuantum dasar yang kami gunakan dipikirkan dengan cara ini - Anda hanya benar-benar melakukan apa saja pada satu atau dua qubit sekaligus dan Anda membuatnya menjadi ukuran eksponensial dengan menambahkan identitas ("tidak melakukan apa-apa") ke semua qubit lainnya. Menggabungkan sejumlah kecil ini bekerja pada set qubit yang berbeda dapat membuat beberapa matriks kesatuan yang bukan produk tensor.

Sekarang, sementara komputer kuantum pada prinsipnya dapat mengimplementasikan operator kesatuan apa pun, universalitas dalam arti itu tidak mengatakan apa-apa tentang berapa lama pembangunannya. Sebagian besar, luar biasa, dari mereka memang membutuhkan waktu eksponensial untuk diimplementasikan. Komputasi kuantum secara khusus tertarik untuk menemukan bahwa zona Goldilocks, sejumlah kecil contoh yang dapat diimplementasikan dalam waktu polinomial dan memberikan perhitungan yang menarik yang tidak dapat dihitung dalam waktu polinomial pada komputer klasik.

Perhatikan bahwa tidak ada yang spesifik tentang hal ini.

Operasi klasik sewenang-wenang berakhir $n$ bit juga dapat direpresentasikan sebagai$2^n\times2^n$matrix, menggambarkan di mana setiap bitstring input dikirim oleh operasi. Matriks tersebut adalah matriks permutasi untuk operasi deterministik (dalam hal ini menggunakan matriks sedikit tidak ada gunanya karena tidak ada gagasan "kombinasi linear input"), atau matriks stokastik yang lebih umum jika seseorang juga ingin menggambarkan proses probabilistik.

Dimensi matriks ini juga jelas meningkat secara eksponensial dengan jumlah bit, tetapi ini bukan masalah, karena tidak ada hubungannya dengan betapa sulitnya sebenarnya untuk mengimplementasikan operasi yang sesuai, karena alasan yang dijelaskan dalam jawaban lain .