Cara membuat sirkuit kuantum dari awal

Saya sedang belajar mandiri saat ini terutama menggunakan buku: Quantum Computing a Gentle Introduction oleh Eleanor Rieffel dan Wolfgang Polak.

Melewati bab-bab sebelumnya dan latihan berjalan cukup baik (untungnya bab-bab sebelumnya punya banyak contoh), namun saya terjebak pada bab 5 tentang sirkuit kuantum. Meskipun saya memahami konsep yang penulis sampaikan, mungkin karena kurangnya contoh, saya mengalami kesulitan menerapkan konsep tersebut pada latihan.

Latihan-latihan yang saya punya masalah dengan (dan di mana saya tidak dapat menemukan solusi atau penjelasan pengantar / menyeluruh untuk) adalah sebagai berikut:

$\\$

Pertanyaan:

Desain sirkuit untuk membuat: dari$\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$$\left| 0 \dots 000 \right>$

Dan desain sirkuit untuk membuat "keadaan Hardy": $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

$\\$

Bisakah seseorang mengarahkan saya ke arah yang benar atau merujuk saya ke beberapa literatur / tutorial sehingga saya dapat memahami latihan semacam ini dengan lebih baik?

$\\$

Mungkin pertanyaan terkait: Kiat dan trik untuk membuat sirkuit untuk menghasilkan status kuantum yang berubah-ubah

Seperti DaftWullie tunjukkan, pertanyaan tentang memiliki koleksi jawaban yang sangat baik di sini .$W_n$

Untuk pertanyaan kondisi Hardy (dan banyak tugas lain seperti itu), Anda dapat mendekatinya sebagai berikut.

• Mulai dengan state.$|0...0\rangle$
• Mulailah dengan meletakkan qubit pertama "dalam keadaan yang tepat", yang merupakan keadaan , di mana dan berada bobot relatif dari semua status dasar yang dimulai dengan 0 dan 1, masing-masing. Khusus untuk negara Hardy, dua keadaan dasar mulai dengan 0: dan dua keadaan dasar dimulai dengan 1: ; bobot relatif mereka hanyalah jumlah kuadrat dari amplitudo mereka: dan$(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$$\alpha$$\beta$$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$masing-masing. Jadi Anda harus meletakkan qubit pertama di negara bagian menggunakan gerbang.$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$$R_y$
• Lanjutkan dengan menempatkan qubit kedua di status yang benar, menerapkan gerbang terkontrol dengan qubit pertama sebagai kontrol. Untuk mendapatkan dua istilah pertama yang benar, Anda perlu mengubah istilah ke dalam istilah , yang sama dengan mengubah keadaan normal ke tanpa mempengaruhi status (perhatikan renormalisasi saat beralih dari istilah ekspresi yang lebih besar ke status mandiri!) Untuk melakukan ini, Anda dapat melakukan dikendalikan$R_y$$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$|0\rangle \otimes |0\rangle$$\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$|1\rangle \otimes |0\rangle$$R_y$ dengan qubit pertama sebagai kontrol dan qubit kedua sebagai target.
• Jika Anda memiliki lebih banyak qubit, Anda akan terus melakukan ini, menggunakan lebih banyak qubit kontrol untuk menjadikan rotasi Anda lebih spesifik.

Anda dapat melihat makalah ini oleh Shende, Bullock dan Markov jika Anda menginginkan penjelasan yang lebih formal dan kurang ad-hoc.

Anda dapat menyederhanakan masalah "menghasilkan negara" dengan memecahnya menjadi tiga bagian:

1. Persiapkan kumpulan besaran yang Anda butuhkan, tanpa khawatir tentang fase atau negara mana yang memiliki besaran itu.
2. Perbaiki fase.
3. Perbaiki pemesanan.

Sekarang pertimbangkan kondisi Hardy. Apa besarnya yang perlu kita buat? Kita membutuhkan satu instance dari dan tiga instance dari . Kita dapat membuatnya satu per satu, dengan memiliki status "amplitudo tersisa" yang terus memisahkan kita.$3/\sqrt{12}$$1/\sqrt{12}$

Kita mulai dengan semua amplitudo dalam satu keadaan dengan eksitasi di sebelah kiri, mana . Apa yang ingin kita lakukan adalah memindahkan eksitasi ke kanan sambil meninggalkan besaran yang diinginkan. Jadi untuk memulai kita ingin meninggalkan magnitudo . Kita dapat melakukannya dengan operasi , di mana kontrol adalah qubit paling kiri dan targetnya adalah qubit tepat di sebelah kanannya. Dengan memilih nilai yang tepat untuk , ini akan menghasilkan status . Kami kemudian CNOT qubit kedua kembali ke qubit pertama untuk sampai ke$\ell_0 |1000...00\rangle$$\ell_0=1$$3/\sqrt{12}$$R_y(\theta_0)$$\theta$$3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. Selanjutnya kita ingin melakukan . Kami melakukan lain yang dikendalikan oleh qubit paling kiri diikuti oleh CNOT mundur, tetapi kali ini dengan target adalah qubit ketiga dari kiri. Dengan memilih sempurna, kami akan menghasilkan status . Dan Anda terus melakukan ini sampai Anda mendapatkan semua amplitudo yang Anda butuhkan, mudah ditangani oleh individu qubit yang bersemangat.$1/\sqrt{12}$$R_y$$\theta_1$$\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$

Sekarang Anda ingin memperbaiki setiap fase yang salah yang dihasilkan oleh rotasi Y. Untuk keadaan Hardy ini mudah, karena semua fase positif. Secara umum Anda menargetkan setiap posisi qubit dengan operasi dengan nilai dipilih dengan tepat , dan itu akan membuat fase-fase tersebut benar.$k$$R_z(\phi_k)$$\phi_k$

Sekarang kami ingin melakukan pemesanan dengan benar. Cara termudah untuk melakukan ini adalah memiliki beberapa qubit tambahan yang merupakan qubit keluaran Anda dan, untuk masing-masing qubit yang telah kami persiapkan sejauh ini dan setiap qubit keluaran, baik menambahkan CNOT di antara keduanya atau tidak. Misalnya, jika status dengan amplitudo seharusnya menjadi , maka kita perlu CNOT dari qubit paling kiri kita ke kedua qubit keluaran. Maka kita perlu mengompilasi qubit paling kiri dengan menggunakan operasi BUKAN yang banyak dikendalikan. Harus ada satu kontrol untuk setiap output qubit, dan tipe kontrol (qubit-must-be-on vs qubit-must-be-off) ditentukan oleh apakah Anda mengaktifkan qubit atau tidak.$3/\sqrt{12}$$|11\rangle$

Menerapkan langkah-langkah ini menghasilkan sirkuit yang tidak efisien, tetapi benar, untuk menciptakan kondisi Hardy. Anda dapat membuka sirkuit di Quirk :

Jika Anda ingin menghasilkan keadaan tanpa menggunakan begitu banyak ruang kerja, tugas semakin sulit. Tapi Anda masih bisa mengikuti magnitude lalu fase kemudian pola pemesanan. Juga, ada cara yang lebih pintar untuk menyiapkan set magnitudo yang memiliki pola yang bagus. Sebagai contoh, ketika hanya satu amplitudo berbeda dari yang lain, satu putaran amplifikasi sebagian amplitudo mungkin cukup untuk mempersiapkan keadaan.