Bagaimana cara kerja notasi bra-ket?

29

Algoritma kuantum sering menggunakan notasi bra-ket dalam deskripsi mereka. Apa arti semua tanda kurung dan garis vertikal ini? Sebagai contoh: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Sementara ini bisa dibilang pertanyaan tentang matematika, jenis notasi ini tampaknya sering digunakan ketika berhadapan dengan perhitungan kuantum secara khusus. Saya tidak yakin pernah melihatnya digunakan dalam konteks lain.

Edit

Pada bagian terakhir, maksud saya adalah mungkin untuk menunjukkan vektor dan produk dalam menggunakan notasi standar untuk aljabar linier, dan beberapa bidang lain yang menggunakan objek dan operator ini melakukannya tanpa menggunakan notasi bra-ket.

Ini membuat saya menyimpulkan bahwa ada beberapa perbedaan / alasan mengapa bra-ket sangat berguna untuk menunjukkan algoritma kuantum. Itu bukan pernyataan fakta, maksud saya sebagai pengamatan. "Saya tidak yakin saya pernah melihatnya digunakan di tempat lain" bukan pernyataan yang sama dengan "Itu tidak digunakan dalam konteks lain".

notation

— Ella Rose
sumber

3

Terkait: Cara

T E X

$\TeX$ notasi bra-ket di Meta.

— Nat

18

Seperti yang sudah dijelaskan oleh yang lain, ket hanyalah vektor. Sebuah braadalah konjugat Hermitian dari vektor. Anda dapat mengalikan vektor dengan angka dengan cara biasa. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Sekarang tiba bagian yang menyenangkan: Anda dapat menulis produk skalar dari dua vektor dan sebagai . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Anda dapat menerapkan operator ke vektor (dalam dimensi hingga ini hanyalah perkalian matriks) . $X\left|\psi\right>$

Secara keseluruhan, notasi ini sangat berguna dan intuitif. Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel Wikipedia atau buku teks tentang Quantum Mechanics.

— jknappen - Pasang kembali Monica
sumber

"bra adalah konjugat Hermitian." Apa itu konjugat Hermitian vektor? Dan apakah hanya produk dalam dari vektor dan ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— develarist

Ada dua jenis vektor, vektor kolom dan vektor baris. Konjugasi Hermitian dari vektor kolom adalah vektor baris dengan elemen terkonjugasi yang kompleks, dan sebaliknya.

— jknappen

elemen terkonjugasi kompleks?

— develarist

Elemen seperti pada elemen matriks. Anda juga dapat menggunakan istilah "komponen" yang lebih umum ketika berbicara tentang vektor.

— jknappen

1

Ya, adalah produk dalam , tetapi ruang vektornya kompleks, jadi rumusnya adalah , perhatikan belati untuk konjugat Hermitian, bukan hanya transposisi.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen

20

Anda dapat menganggap dan sebagai dua keadaan basis ortonormal (diwakili oleh "ket") bit kuantum yang berada dalam ruang vektor kompleks dua dimensi. Garis dan tanda kurung yang Anda lihat pada dasarnya adalah notasi bra-ket alias notasi Dirac yang biasa digunakan dalam mekanika kuantum. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Sebagai contoh dapat mewakili keadaan spin-down sebuah elektron sedangkan dapat mewakili keadaan spin-up. Tetapi sebenarnya elektron dapat berada dalam superposisi linier dari dua keadaan tersebut yaitu (ini biasanya dinormalisasi seperti ) di mana . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Sanchayan Dutta
sumber

16

Apa arti semua tanda kurung dan garis vertikal ini?

Notasi berarti hal yang persis sama dengan atau , yaitu menunjukkan vektor yang namanya "v". Itu dia. Tidak ada misteri atau sihir lebih lanjut sama sekali. Simbol menunjukkan vektor yang disebut "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Simbol disebut "ket", tetapi bisa juga (dan menurut saya harus) disebut "vektor" dengan sama sekali tidak ada kehilangan makna sama sekali. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Sementara ini bisa dibilang pertanyaan tentang matematika, jenis notasi ini tampaknya sering digunakan ketika berhadapan dengan perhitungan kuantum secara khusus. Saya tidak yakin saya pernah melihatnya digunakan dalam konteks lain.

Notasi ditemukan oleh seorang ahli fisika ( Paul Dirac ) dan disebut "notasi Dirac" atau "notasi bra-ket" . Sejauh yang saya tahu, Dirac mungkin menciptakannya ketika mempelajari mekanika kuantum, dan secara historis notasi sebagian besar telah digunakan untuk menunjukkan vektor yang muncul dalam mekanika kuantum, yaitu keadaan kuantum. Notasi bra-ket adalah standar dalam konteks mekanika kuantum apa pun , bukan hanya komputasi kuantum. Misalnya, persamaan Schrodinger , yang berkaitan dengan dinamika dalam sistem kuantum dan mendahului perhitungan kuantum selama beberapa dekade, ditulis menggunakan notasi bra-ket.

Selanjutnya, notasi ini cukup nyaman dalam konteks aljabar linier lainnya dan digunakan di luar mekanika kuantum.

— DanielSank
sumber

12

Ini membuat saya menyimpulkan bahwa ada beberapa perbedaan / alasan mengapa bra-ket sangat berguna untuk menunjukkan algoritma kuantum.

Sudah ada jawaban yang diterima dan jawaban yang menjelaskan 'ket', 'bra' dan notasi produk skalar.

Saya akan mencoba menambahkan sedikit lebih banyak ke entri yang disorot. Apa yang membuatnya menjadi notasi yang berguna / berguna?

Hal pertama yang notasi bra-ket benar-benar banyak digunakan adalah untuk menunjukkan dengan sangat sederhana vektor eigen dari operator (biasanya Hermitian) yang terkait dengan nilai eigen. Misalkan kita memiliki persamaan nilai eigen , ini dapat dilambangkan sebagai , dan mungkin beberapa label tambahan jika ada beberapa kemunduran . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Anda melihat ini digunakan di seluruh mekanika kuantum, status momentum eigen cenderung dilabeli sebagai atau tergantung pada unit, atau dengan beberapa status partikel ; representasi nomor pekerjaan untuk sistem bose dan fermi banyak sistem tubuh ; setengah putaran partikel mengambil status eigen biasanya dari operator , ditulis kadang-kadang sebagai dan atau dan , dll sebagai singkatan $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; harmonik bola sebagai fungsi eigen dari fungsi dan mudah ditulis sebagai dengan dan $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Jadi kenyamanan notasi adalah satu hal, tetapi ada juga semacam perasaan 'lego' untuk manipulasi aljabar dengan notasi dirac, ambil contoh operator setengah putaran dalam notasi dirac sebagai , bekerja pada kondisi seperti satu hanya melakukan $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

karena dan . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Apa yang membuatnya berguna untuk algoritma kuantum?

Katakanlah kita memiliki sistem dua tingkat yang cocok untuk qubit; ini membentuk ruang vektor kompleks dua dimensi yang basisnya dilambangkan sebagai dan . Ketika kita mempertimbangkan katakan qubit dari formulir ini, negara-negara dari sistem hidup di ruang yang lebih besar ruang produk tensor, . Notasi Dirac bisa agak berguna di sini, basis negara akan diberi label oleh string satu dan nol dan satu biasanya menunjukkan keadaan misalnya , dan mengatakan kita memiliki operator flip sedikit yang bertukar $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ pada bit ke - , ini dapat bertindak lebih sederhana pada string di atas misalnya , dan mengambil jumlah operator atau bertindak pada superposisi negara bekerja dengan mudah. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Hati-hati sedikit: keadaan ditulis sebagai tidak selalu berarti , misalnya ketika Anda memiliki dua fermion identik dengan fungsi gelombang mengatakan dan , dengan label yang mengindeks beberapa set dasar, maka orang dapat menulis keadaan penentu slater dari fermions dalam singkatan sebagai atau bahkan . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— kesulitan
sumber

8

The ket notasi sarana vektor di ruang vektor apapun yang kita sedang bekerja di, seperti ruang dari semua kombinasi linear kompleks dari delapan 3-bit string , , , dll , seperti yang kita gunakan untuk mewakili keadaan komputer kuantum. Unadorned berarti hal yang persis sama — notasi berguna sebagian untuk menekankan bahwa, misalnya, adalah elemen ruang vektor yang menarik, dan sebagian untuk kelucuannya dalam kombinasi dengan notasi bra . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

The bra notasiberarti vektor ganda atau covector -a linier fungsional , atau peta linear dari vektor ke skalar, yang nilainya pada vektor adalah produk dalam dari dengan , cutely ditulis . Di sini kita mengasumsikan keberadaan produk dalam, yang tidak diberikan dalam ruang vektor sewenang-wenang, tetapi dalam fisika kuantum kita biasanya bekerja di ruang Hilbert yang menurut definisi memiliki produk dalam. Ganda dari suatu vektor kadang-kadang juga disebut dengan (Hermitian) transposnya $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , karena dalam representasi matriks, vektor berkorespondensi dengan kolom dan kovektor berkorespondensi dengan sebuah baris, dan ketika Anda mengalikan Anda mendapatkan skalar. (Bagian Hermitian berarti selain mentransposisi matriks, kita mengambil konjugat kompleks dari entri-nya - yang sebenarnya hanya lebih jauh mentransposisi representasi matriks dari kompleks nomor .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Ketika ditulis dengan cara lain,, Anda mendapatkan produk luar dari dengan , didefinisikan sebagai transformasi linear dari ruang vektor untuk dirinya sendiri yang diberikan oleh . Yaitu, diberi vektor , ia menskala vektor dengan skalar yang diberikan oleh produk dalam . Karena operasi yang dimaksud adalah asosiatif, kami dapat menghapus tanda kurung dan menulis dengan jelas $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Operasi yang terlibat tidak komutatif secara umum, namun: membalik urutan menghasilkan konjugat kompleks , menggantikan dengan . Mungkin ada transformasi lain dari ruang-ruang yang terlibat yang dilemparkan ke dalam campuran juga, seperti , yang dapat dibaca secara ekuivalen sebagai prakomposisi fungsional linearoleh transformasi linear , diterapkan pada vektor

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , atau sebagai evaluasi fungsional lineardi vektor diperoleh transformasi dengan transformasi linear .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

Notasi digunakan terutama dalam fisika kuantum; ahli matematika cenderung hanya menulis mana fisikawan dapat menulis ; untuk covector; baik atau untuk produk dalam; dan untuk apa yang akan dinotasikan oleh fisikawan oleh . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Squeamish Ossifrage
sumber