Discontinuous Galerkin: Keuntungan dan kerugian Nodal vs Modal

Ada dua pendekatan umum untuk mewakili solusi dalam metode galerkin diskontinyu: nodal dan modal.

Modal : Solusi yang diwakili oleh jumlah koefisien modal dikalikan dengan satu set polinomial, misalnya di mana biasanya ortogonal polinomial, misalnya Legendre . Salah satu keuntungannya adalah polinomial ortogonal menghasilkan matriks massa diagonal. $u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$ $\phi_i$
Nodal : Sel terdiri dari beberapa node di mana solusi didefinisikan. Rekonstruksi sel kemudian berdasarkan pas polinomial interpolasi, misalnya di mana adalah polinomial Lagrange. Salah satu keuntungan dari ini adalah Anda dapat memposisikan node Anda pada titik quadrature dan dengan cepat mengevaluasi integral. $u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$ $l_i$

Dalam konteks skala besar, kompleks ( - DOFs) 3D aplikasi paralel terstruktur / tidak terstruktur dengan tujuan fleksibilitas, kejelasan implementasi, dan efisiensi, apa keuntungan dan kerugian komparatif dari masing-masing metode? $10^6$ $10^9$

Saya yakin sudah ada literatur yang bagus di luar sana, jadi jika seseorang bisa mengarahkan saya ke sesuatu yang bagus juga.

fluid-dynamics discontinuous-galerkin

— Aurelius
sumber

Jawaban:

Pengorbanan di bawah ini berlaku sama untuk DG dan untuk elemen spektral (atau elemen hingga -versi). $p$

$p$

$h$ - Eliptisitas pada operator yang diskrit (sehingga memungkinkan penggunaan smoothers / preconditioners yang lebih murah). Juga lebih mudah untuk mendefinisikan konsep yang digunakan oleh solver, seperti mode tubuh kaku (cukup gunakan koordinat nodal), dan untuk menentukan operator transfer grid tertentu seperti muncul dalam metode multigrid. Diskritisasi tertanam juga tersedia untuk prakondisi, tanpa perlu perubahan basis. Diskretisasi nodal dapat secara efisien menggunakan quadrature collocated (seperti dengan metode elemen spektral), dan integrasi yang kurang sesuai dapat baik untuk konservasi energi. Kopling antar-elemen untuk persamaan orde pertama lebih jarang untuk basis nodal, meskipun sebaliknya basis modal sering dimodifikasi untuk mendapatkan sparsitas yang sama.

— Jed Brown
sumber

Terima kasih, poin bagus. Adakah wawasan tentang quadrature / integrasi, dan implementasi pembatas untuk diskontinuitas dalam dua pendekatan?

— Aurelius

Fungsi modal dan basis nodal biasanya dirancang untuk menjangkau ruang yang sama. Saya menambahkan catatan tentang quadrature dilokasi. Tidak ada dasar orde tinggi linier yang dapat menangkap ekstrema secara langsung, sehingga penerapan pembatas sangat mirip dengan metode yang saya kenal.

— Jed Brown

Terima kasih sekali lagi, menerima jawaban ini. Satu pertanyaan subjektif terakhir: jika Anda memulai proyek CFD serba guna yang memanfaatkan sesuatu seperti petsc, apakah Anda akan memiliki preferensi yang kuat untuk nodal vs modal?

— Aurelius

Saya pikir metode nodal hampir selalu lebih praktis. Operasi yang "lebih elegan" untuk basis modal bukanlah hambatan.

— Jed Brown

Saya ingin tahu melihat beberapa jawaban untuk pertanyaan ini, tetapi entah bagaimana tidak ada yang mau menjawab ...

Mengenai literatur, saya sangat suka buku Spectral / hp Element Methods untuk Computational Fluid Dynamics (ada juga versi soft-cover yang lebih murah sekarang) dan juga buku Hesthaven dan Warburton . Keduanya masuk ke beberapa detail yang akan membantu Anda menerapkan metode. Buku Canuto, Hussaini, Quarteroni dan Zang lebih bersifat teori. Yang ini juga memiliki volume kedua "Metode Spektral: Evolusi ke Geometri Kompleks dan Aplikasi ke Dinamika Fluida".

Saya tidak bekerja pada metode DG dan saya bukan ahli untuk menilai keuntungan dari nodal vs modal. Buku Karniadakis & Sherwin lebih fokus pada metode dengan ekspansi modal berkelanjutan . Dalam metode jenis ini, Anda wajib menyusun ulang mode dalam dua elemen yang berdekatan sedemikian rupa sehingga mode yang sesuai pada antarmuka cocok untuk menjaga kelangsungan ekspansi global. Selain itu, memaksakan kondisi batas memerlukan perhatian ekstra karena mode Anda tidak terkait dengan lokasi spesifik pada batas.

Saya harap seseorang yang akrab dengan metode jenis ini akan menambahkan lebih banyak detail.

— Martin Vymazal
sumber

Terima kasih, saya bingung. Saya belum mendapatkan jawaban yang bagus di sini juga! Saya memiliki buku Karniadakis / Sherwin (modal & berkelanjutan) dan Hesthaven / Warburton (nodal) dan saya juga merekomendasikan mereka. Saya nyaman dengan implementasinya, hanya pro / kontra yang tidak jelas bagi saya.

— Aurelius