Implementasi metode Jacobi-Davidson untuk masalah nilai eigen kubik

Saya memiliki masalah nilai eigen kubik besar:

({SEBUAH}_{0} + λ {SEBUAH}_{1} + λ^{2} {SEBUAH}_{2} + λ^{3} {SEBUAH}_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Aku bisa mengatasi ini dengan mengkonversi ke masalah nilai eigen linear tetapi akan menghasilkan sistem sebagai besar: $3^2$

[\begin{matrix} - {SEBUAH}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & saya & 0 \\ 0 & 0 & saya \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} {SEBUAH}_{1} & {SEBUAH}_{2} & {SEBUAH}_{3} \\ saya & 0 & 0 \\ 0 & saya & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

di mana dan . Apa teknik lain yang tersedia untuk memecahkan masalah nilai eigen kubik? Saya pernah mendengar bahwa ada versi Jacobi-Davidson yang akan menyelesaikannya tetapi belum menemukan implementasi. $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Juga, saya harus dapat menargetkan nilai eigen spesifik yang serupa dengan metode shift-and-invert ARPACK dan menemukan vektor eigen terkait.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
sumber

Apa dimensi dari matriks yang terlibat?

— Bill Barth

memesan

. Saya memiliki dua formulasi berbeda dari masalah ini, satu di mana

adalah padat dan yang lain jarang.

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

10000 \times 10000

$10000\times 10000$

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPc memiliki rutinitas untuk masalah nilai eigen kuadratik dan masalah nilai eigen nonlinear, sehingga Anda mungkin dapat menemukan apa yang Anda butuhkan di sana. Ini juga memiliki fasilitas shift-and-invert, dan memiliki antarmuka ke ARPACK.

— Geoff Oxberry

Dengan protokol komunikasi terbalik ARPACK, Anda tidak perlu menyimpan matriks secara eksplisit: Anda hanya perlu menyediakan dua fungsi yang menghitung: $3n \times 3n$

dan $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

$3\times n$

Mengenai transformasi invert, Anda dapat melakukan hal yang sama, yaitu mengimplementasikannya sendiri dengan menggunakan panggilan balik yang menghitung $x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
sumber