Metode Elemen Hingga vs Metode Elemen Hingga Hingga (FEM vs XFEM)

Apa perbedaan utama antara FEM dan XFEM? Kapan kita (tidak) menggunakan XFEM intead dari FEM dan sebaliknya? Dengan kata lain, ketika saya menemukan masalah baru, bagaimana saya bisa tahu menggunakan yang mana dari mereka?

— Anh-Thi DINH
sumber

Sebagian besar kali saya temui XFEM, itu untuk berurusan dengan diskontinuitas terkait dengan perambatan retak dan patah pada mekanika padat. Saya belum benar-benar melihatnya digunakan di luar aplikasi yang satu ini.

— Paul

Sebenarnya, masih banyak bidang lain yang juga menggunakan XFEM untuk dipecahkan. Itulah alasan mengapa saya perlu tahu cara mengenali metode ini setiap kali saya mulai memecahkan masalah.

— Anh-Thi DINH

Jawaban:

Metode Elemen Hingga (FEM) adalah metode induk yang telah menginspirasi banyak, banyak metode dan metode lain yang sebenarnya adalah FEM tetapi berpura-pura tidak.

Dalam metode elemen hingga, "fungsi bentuk" digunakan untuk memberikan ruang perkiraan sehingga solusi dapat diwakili oleh vektor. Dalam FEM klasik, fungsi-fungsi bentuk ini adalah polinomial.

Dalam Metode Elemen Hingga yang Diperluas (XFEM), fungsi "pengayaan" tambahan digunakan untuk memperkirakan solusi selain fungsi bentuk polinomial. Fungsi pengayaan ini dipilih untuk memiliki sifat-sifat yang diketahui diikuti oleh solusi.

Fungsi pengayaan XFEM yang paling jelas adalah fungsi daya yang diperkenalkan pada celah sudut tajam untuk mewakili singularitas dalam gradien solusi (yaitu, singularitas dalam tekanan untuk masalah mekanika padat). XFEM dapat digunakan untuk fungsi pengayaan lainnya dan domain solusi lainnya (terutama perpindahan panas), tetapi namanya identik dengan analisis fraktur.

Perbedaan antara berbagai metode - apakah XFEM ini atau tidak ?, dll - rumit dan halus dan tidak penting.

Adapun yang digunakan, XFEM melihat sangat sedikit penggunaan praktis. Ada beberapa aplikasi dalam kode elemen hingga nyata, terutama Abaqus, tetapi mereka belum melihat penerimaan luas.

Untuk hampir semua masalah praktis, FEM klasik akan digunakan. Untuk sebagian besar masalah analisis fraktur, FEM klasik mungkin masih digunakan dengan perbaikan mesh yang sesuai dan / atau perbaikan p di area ujung retak. Model fraktur lain yang tidak terlalu ketat dapat juga digunakan.

— Mike
sumber

r^{α}

$r^{\alpha}$

r

$r$

0 < α < 1

$0<\alpha<1$

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$

@ WolfgangBangerth, Terima kasih! Saya mengedit jawaban saya untuk mengatakan 'fungsi kekuasaan', yang saya maksudkan di tempat pertama, meskipun tetap tidak tepat. Saya hampir menempatkan sqrt (r) (untuk celah tertutup) untuk melukis gambar yang lebih jelas, tapi saya tidak yakin apakah itu akan mengganggu. Saya tahu, ada satu ton lebih banyak detail untuk implementasi XFEM yang serius (beberapa sudah saya pelajari dan yang lain tidak).

— Mike

@ Mike: pertanyaan lain yang kurang terkait adalah apa perbedaan antara P1-bubble FEM dan XFEM? Bisakah kau memperlihatkanku?

— Anh-Thi DINH

@ PoBo, Ada sedikit kesamaan. Kedua metode melibatkan penambahan fungsi bentuk tanpa mengubah mesh dan keduanya didasarkan pada matematika dasar yang sama yang umum untuk seluruh keluarga FEM, tetapi di situlah kemiripan berakhir.

— Mike

Jika Anda tidak memiliki pemahaman yang baik tentang versi-p atau pendekatan fungsi bentuk-gelembung-P1, Anda dapat mencoba pertanyaan tingkat atas lainnya atau mengambil salah satu buku di atasnya (Szabo dan Babuska's secara keseluruhan cukup ketat, tetapi jauh lebih sedikit daripada yang lain yang meliput versi-p.)

— Mike

Kedua Mike jawaban dan Jed satu menggambarkan dengan baik dikotomi XFEM / FEM dan benar menunjukkan bahwa daerah yang paling penting dari aplikasi yang 3D Mekanika Fracture, di mana Anda memiliki celah, yaitu perpindahan diskontinuitas di permukaan di dalam domain Anda.

Retak sulit dimodelkan dalam FEM klasik karena dua alasan:

Mesh harus kongruen di celah: lebih tepatnya celah harus berada di batas subdomain FE. Retak tidak bisa terletak di dalam (melewati) elemen yang terbatas.
Bidang tegangan tunggal pada ujung retak membutuhkan elemen khusus dan / atau teknik meshing (elemen point quarter, mesh terfokus) untuk dimodelkan dengan akurasi yang baik.

Dari sudut pandang teknik dalam mekanika perpatahan, Anda memiliki dua jenis masalah utama:

Perhitungan faktor intensitas stres ,
analisis perambatan retak, misalnya dalam analisis kelelahan atau kerusakan toleransi.

Untuk jenis pertama dari masalah FEM klasik lebih dari cukup dan yang alat rekayasa standar. (Ini karena, untungnya, ada metode energi untuk mengevaluasi faktor intensitas tegangan yang tidak sensitif terhadap kesalahan numerik di dekat ujung retak.)

Analisis perambatan retak adalah cerita yang sama sekali berbeda: dalam banyak kasus Anda tidak tahu sebelumnya tentang jalur retak, dan oleh karena itu remeshing yang sering diperlukan. Janji utama XFEM adalah untuk memungkinkan perambatan retak di dalam mesh FEM tetap , celah memotong jalannya tidak hanya pada batas antara subdomain, tetapi di dalam FE itu sendiri.

XFEM adalah teknik yang relatif baru, masih jauh dari menjadi alat teknik standar. Jawaban saya untuk pertanyaan OP, setidaknya dalam mekanika padat dan analisis teknik, adalah bahwa XFEM memiliki bidang aplikasi yang sangat sempit dan terspesialisasi dalam analisis perambatan retak dan kerusakan, untuk geometri 3D yang kompleks, ketika jalur retak tidak dapat diperkirakan secara apriori .

Namun demikian, saya tekankan bahwa mekanika fraktur adalah bidang yang sangat penting dalam rekayasa: mis. Pesawat aiplan saat ini aman juga karena memungkinkan untuk memperkirakan kerusakan dan perambatan retak secara numerik di antara interval perawatan. XFEM, atau teknik baru serupa, akan menjadi alat penting dalam waktu dekat.

— Stefano M
sumber

pentingnya XFEM dalam mekanika keretakan ditunjukkan oleh Anda semua tetapi apakah masih ada bidang lain yang perlu menggunakan XFEM alih-alih FEM klasik? Misalnya, dalam pertumbuhan biofilm, antarmuka biofilm dalam substrat berubah berdasarkan waktu. Batasnya adalah berubah-ubah (batas bergerak). Jika kita menggunakan FEM klasik, mesh harus dihasilkan pada setiap langkah waktu, apakah itu benar? Itu benar-benar tidak baik, terutama dalam kasus 3D. Atau jika kita mempertimbangkan 2 fase fluida dengan gradien konsentrasi yang berbeda, sepertinya perlu menggunakan XFEM juga?

— Anh-Thi DINH

Ada banyak masalah di mana Anda memiliki permukaan bebas atau batas bergerak, yang sulit dengan pendekatan Lagrangian murni (karena sering dibuat ulang). XFEM lebih tentang pemodelan diskontinuitas di dalam domain. Saya tahu prosedur kopling yang menggunakan diskontinuitas untuk mewakili batas bergerak ... tapi saya bukan ahli dalam bidang ini.

— Stefano M

pertanyaan lain yang kurang terkait adalah bahwa apa perbedaan antara P1-bubble FEM dan XFEM? Bisakah kau memperlihatkanku?

— Anh-Thi DINH

Saya sarankan membuka pertanyaan baru. Secara singkat P1-bubble / P1 adalah elemen hingga tertentu (untuk solusi persamaan Stokes) sementara XFEM adalah konsep yang lebih umum, yang berkaitan dengan penggunaan fungsi pengayaan untuk pemodelan diskontinuitas, mengeksploitasi pendekatan Partition of Unity.

— Stefano M

FEM adalah bagian dari XFEM. XFEM adalah metodologi untuk memperkaya ruang elemen hingga untuk menangani masalah diskontinuitas (seperti fraktur). Dengan FEM klasik, untuk mencapai akurasi yang sama biasanya membutuhkan penyatuan konformal yang rumit dan penyempurnaan adaptif, sedangkan XFEM melakukannya dengan satu jala, memindahkan kompleksitas geometrik ke dalam elemen (XFEM sangat rumit untuk diimplementasikan, terutama dalam 3D). Sementara itu, XFEM menghasilkan matriks yang sangat tidak terkondisikan yang memerlukan pemecah langsung atau metode multigrid yang sangat khusus (misalnya, Gerstenberger dan Tuminaro (2012) ).

— Jed Brown
sumber

Apakah upaya dalam memindahkan kompleksitas dari mesh ke fungsi bentuk benar-benar membuahkan hasil pada akhirnya? Keduanya tampak rumit dengan cara yang sama.

— shuhalo

Seperti yang sering terjadi dalam ilmu komputasi, itu tergantung siapa yang Anda tanyakan dan masalah apa yang Anda selesaikan. Banyak praktisi XFEM menyepak bola dengan menggunakan kuadratur mentah alih-alih yang disesuaikan dengan diskontinuitas intra-elemen.

— Jed Brown