Menghitung polinomial karakteristik dari matriks jarang nyata

9

Diberikan matriks jarang generik dengan ~~m << n~~ (koreksi: ) elemen tidak nol (biasanya ). adalah generik dalam arti bahwa ia tidak memiliki sifat spesifik (misalnya kepastian positif), dan tidak ada struktur (misalnya pita) yang diasumsikan. $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Apa saja metode numerik yang baik untuk menghitung polinomial karakteristik atau polinomial minimal ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

3

Sepertinya Anda ingin menghitung semua nilai eigen. Mengapa Anda ingin jumlahnya banyak dan bagaimana Anda ingin itu diungkapkan? Basis monomial sangat tidak terkondisi, sehingga koefisien kemungkinan tidak dapat secara stabil dihitung dalam aritmatika presisi terbatas.

— Jed Brown

@JedBrown lebih banyak kontemplasi. Dalam jawaban saya untuk pertanyaan ini, saya memberikan metode aljabar untuk membalik matriks, yang terkenal dalam aljabar komputer (misalnya, matriks atas cincin dan bidang komutatif). Saya ingin tahu apakah saya bisa menggunakannya untuk matriks numerik. Harap perhatikan bahwa, untuk keperluan pertanyaan ini, saya tertarik pada metode numerik untuk menemukan karakteristik / polinomial minimal daripada terbalik.

1

Jika kompleksitas bukan merupakan penghenti maka Anda mungkin ingin melihat metode Danilevskii. Ini cukup terkenal dalam literatur Rusia tentang aljabar linear numerik, tetapi tidak ada banyak informasi dalam bahasa Inggris. Anda bisa mulai dari tautan ini . $O(n^3)$

Idenya agak langsung: matriks secara bertahap dikurangi menjadi bentuk normal Frobenius oleh "mirip Gaussian eliminasi-like" transformasi. Jika Anda tidak menemukan informasi tersebut, saya dapat membuat algoritme lebih rumit.

— faleichik
sumber

1

Anda bisa menggunakan metode numerik seperti QR Factorization atau Power Method dan realistisnya (daya terbalik dll) untuk menghitung nilai eigen dari matriks generik Anda. Setelah itu, Anda dapat menghitung polinomial karakteristik Anda dengan faktorisasi sebagai: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 di mana λi adalah nilai eigen yang dikomputasi. Berikut adalah presentasi singkat tentang kekuatan dan metode QR:

QR-Power

— chemeng
sumber

0

Ngomong-ngomong: Apakah Anda ingin mengatakan bahwa Anda memiliki entri ? Jika memang maka mayoritas baris dan kolom akan benar-benar kosong dan ada kemungkinan bahwa polinomial karakteristik sebenarnya bukan derajat tetapi derajat . $m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
sumber

Ops. Tidak. Saya bermaksud mengatakan yaitu . Maaf soal itu.

m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$