Membingungkan komentar tentang wilayah stabilitas metode Runge-Kutta orde kelima

Saya menemukan komentar membingungkan di koran

PJ van der Houwen, Pengembangan metode Runge-Kutta untuk persamaan diferensial parsial, Appl. Tidak. Matematika 20: 261, 1996

Pada baris 8ff di halaman 264, van der Houwen menulis:

"Untuk polinomial Taylor ini menyiratkan bahwa interval stabilitas imajiner kosong untuk $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$ "

di mana Taylor polinomial mengacu pada polinomial stabilitas (ekspansi terpotong dari sekitar ) dari metode Runge-Kutta dan p adalah urutannya (lihat halaman 263). Saya berasumsi bahwa saya salah memahami sesuatu karena metode Runge-Kutta orde lima tidak memiliki interval stabilitas imajiner kosong sejauh yang saya tahu. Dari yang saya ingat, batas imajiner sekitar 3,4 atau lebih. $\exp(x)$ $x=0$

Apa kesalahpahaman saya?

numerical-analysis stability runge-kutta

— Brian Zatapatique
sumber

Pernyataan van der Houwen benar, tetapi itu bukan pernyataan tentang semua metode Runge-Kutta tingkat kelima. "Polinomial Taylor" yang ia maksudkan adalah (seperti yang Anda tahu) hanyalah polinomial derajat yang memperkirakan untuk memesan : $p$ $\exp(z)$ $p$

P_{hal} (z) = \sum_{j = 1}^{hal} \frac{z^{j}}{j!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

Untuk polinomial orde kelima, ternyata untuk kecil , sehingga wilayah kestabilan metode yang memiliki sebagai polinomial kestabilannya tidak termasuk lingkungan asal mana pun pada sumbu imajiner . Itulah, tepatnya, apa yang dikatakan van der Houwen. $|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

Sumber kebingungan Anda yang paling mungkin adalah apa yang dimaksud dengan "metode Runge-Kutta urutan kelima". Ada (tak terhingga) banyak metode Runge-Kutta orde kelima, tetapi yang paling terkenal tidak memiliki sebagai polinomial stabilitasnya. Mengapa? Seperti yang dibuktikan oleh John Butcher , metode Runge-Kutta orde lima harus memiliki setidaknya enam tahap . Biasanya, polinomial stabilitas suatu metode dengan enam (atau lebih) tahapan akan memiliki derajat enam (atau lebih). Misalnya, masing-masing metode urutan kelima yang tercantum pada halaman Wikipedia ini menggunakan tepat enam tahap dan memiliki polinomial stabilitas derajat enam. $P_5(z)$

Apakah mungkin untuk metode kelima untuk memiliki sebagai polinomial stabilitas? Iya; metode ekstrapolasi eksplisit orde kelima (seperti yang terkenal yang diulas dalam makalah ini ) akan melakukannya. Perhatikan juga bahwa metode Runge-Kutta tahap- dengan polinomial stabilitas akan akurat untuk memesan 5 untuk ODE linier, meskipun tidak untuk ODE nonlinear. $P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

Akhirnya, mudah untuk membuat kesalahan saat menentukan tingkat interval stabilitas imajiner untuk metode Runge-Kutta tingkat tinggi. Itu karena batas wilayah stabilitas untuk metode semacam itu terletak sangat dekat dengan sumbu imajiner . Oleh karena itu, kesalahan pembulatan dapat menyebabkan kesimpulan yang salah; hanya perhitungan yang tepat yang harus digunakan (tentu saja, relevansi batas wilayah stabilitas untuk tujuan praktis dalam keadaan ini tentu bisa diperdebatkan).

Sebagai contoh, berikut adalah plot wilayah stabilitas metode orde lima dari pasangan Fehlberg 5 (4): Wilayah stabilitas Fehlberg

Interval stabilitas imajiner kosong, tetapi Anda tidak dapat mengetahui dari gambar pada resolusi ini! Perhatikan bahwa wilayah tersebut jelas termasuk bagian dari sumbu imajiner, tetapi tidak ada interval tentang asal.

Sementara itu, berikut adalah plot untuk metode urutan kelima dari pasangan Dormand-Prince 5 (4):

Wilayah stabilitas DP5

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Anda mungkin juga tertarik dengan paket NodePy , yang menghasilkan plot di atas dan yang dapat digunakan untuk secara akurat menentukan hal-hal seperti interval stabilitas imajiner suatu metode (disclaimer: I create NodePy).

— David Ketcheson
sumber

David, terima kasih atas jawaban luar biasa Anda yang menjelaskan beberapa hal. Saya akan bepergian selama beberapa hari tanpa akses. Saya tidak ingin membiarkan jawaban Anda menggantung seperti ini; Saya akan kembali ke sana.

— Brian Zatapatique