Mengevaluasi integral osilasi dengan banyak periode independen dan tanpa formulir tertutup

Sebagian besar metode untuk integral osilasi yang saya ketahui berhubungan dengan integral bentuk mana berukuran besar.

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Jika saya memiliki integral dari bentuk mana adalah fungsi berosilasi yang akarnya hanya diketahui sekitar, tetapi semacam bentuk asimptotik diketahui, dengan frekuensi semuanya berbeda (dan -linier independen), lalu bagaimana saya bisa mengevaluasi integral ini?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

Tidak seperti pada kasus , integral polinomial tidak diketahui, jadi saya tidak dapat membuat satu set interpolan polinomial untuk dan mengintegrasikan interpolant tepatnya. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

Dalam masalah persis saya, adalah fungsi Bessel , dan , dan wilayah integrasi adalah . Metode yang saya gunakan sekarang adalah meringkas kontribusi integral dalam interval antara root hingga beberapa cutoff , kemudian gunakan ekspansi asimptotik untuk untuk besar . Kompleksitas waktu algoritma ini bersifat eksponensial dalam karena melibatkan perluasan produk , yang masing-masing memiliki sejumlah istilah asimptotik, memberikan $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ ketentuan total; istilah pemangkasan yang terlalu kecil tidak mengurangi waktu menjalankan cukup untuk membuat ini layak untuk besar . $n$

Semua jawaban, saran, dan referensi heuristik yang tidak ketat semuanya diterima.

quadrature

— Kirill
sumber

Jawaban:

Saya telah bekerja pada integral yang lebih sederhana di mana ada titik fase diam. Saya menemukan dua metode yang bekerja dengan cukup baik.

Salah satunya adalah untuk memperkenalkan faktor redaman eksponensial yang tergantung pada fungsi fase, semacam viskositas buatan jika Anda suka.

Teknik lain (di mana ada beberapa titik fase stat) dijelaskan dalam:

Tuck, EO, Collins, JL dan Wells, WH, "Pada gelombang kapal dan spektrum mereka", Journal of Ship Research, hlm. 11–21, 1971.

Metode itu menerapkan faktor peluruhan eksponensial ke integrand di mana ia menjadi berosilasi cepat dari stat. titik fase, tetapi meninggalkan integrand utuh di tempat yang tidak.

Itu saya kehabisan ide!

— Lysistrata
sumber

Terima kasih, tapi saya tidak mengerti bagaimana ini akan bekerja dalam kasus ini. Untuk satu hal, tidak ada titik fase diam di garis nyata, dan kontribusi dari osilasi signifikan terhadap nilai akhir, jadi jangan sampai teredam.

— Kirill

Selama Anda memiliki nilai yang akurat untuk akar (atau ekstrem) dari bagian osilasi integand Anda, metode Longman (seperti yang saya jelaskan dalam jawaban ini ) tetap berlaku. Yang harus Anda lakukan adalah mengevaluasi sekelompok integral dengan interval di antara akar menggunakan metode quadrature favorit Anda, dan memperlakukan integral ini sebagai syarat dari beberapa seri bolak-balik. Anda kemudian dapat menggunakan sejumlah metode percepatan konvergensi (Euler, Levin, Weniger, dll.) Untuk "menjumlahkan" seri bolak-balik ini.

Sebagai contoh, dalam jawaban math.SE ini , saya mengevaluasi integral tak terbatas yang bagian osilasinya merupakan produk dari dua fungsi Bessel.

— JM
sumber

Bukankah penting bahwa jarak akarnya tidak teratur (semua periode tidak rasional dan independen)? Mengapa Anda percaya percepatan konvergensi untuk urutan yang tidak teratur seperti itu?

— Kirill

Ini beberapa waktu yang lalu, saya ingin mengevaluasi integral untuk seribu digit dan jika saya ingat dengan benar osilasi quadrature sebenarnya adalah hal pertama yang saya coba. Saya tidak ingat hasilnya, tetapi saya pikir itu tidak bekerja dengan baik pada saat itu.

— Kirill

"Mengapa kamu percaya percepatan konvergensi untuk urutan yang tidak teratur seperti itu?" - Saya tidak akan percaya hanya satu akselerator, tho. Tetapi, jika setidaknya tiga akselerator berbeda memberi saya hasil yang konsisten, saya akan berpikir bahwa angka yang saya dapatkan setidaknya masuk akal. FWIW, saya telah menggunakan Longman untuk integral tak terbatas dari produk fungsi Bessel, dan saya tidak pernah kecewa, terutama ketika menggunakan transformasi Weniger sebagai akselerator.

— JM

Metode yang saya jelaskan dalam pertanyaan ini juga merupakan metode quadrature osilasi: perluas integand dalam serangkaian istilah , integral tak hingga yang bentuknya tertutup. Saya akan mempercayai metode seperti itu lebih dari percepatan konvergensi. Pemahaman saya adalah mereka membutuhkan sesuatu seperti monotonitas yang kuat atau pemahaman yang baik tentang istilah kesalahan untuk memastikan bekerja dengan baik.

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

— Kirill

Jika Anda dapat melakukan ekspansi Fourier (umum), maka pasti.

— JM