Pedoman untuk prekondisi bersarang

Pertimbangkan situasi di mana Anda ingin menyelesaikan sistem linier menggunakan metode Krylov yang telah dikondisikan sebelumnya, tetapi menerapkan prekondisi itu sendiri melibatkan penyelesaian sistem bantu, yang dilakukan dengan metode Krylov lain yang telah dikondisikan sebelumnya.

Pada satu ekstrim, Anda bisa menjalankan penyelesaian batin untuk konvergensi dalam setiap langkah pemecahan luar.
Di sisi lain, Anda tidak bisa menyelesaikan batin sama sekali, tetapi menggantinya dengan prekondisi batin.
Di suatu tempat di tengah, Anda dapat memotong loop Krylov bagian dalam setelah beberapa iterasi tetap, atau setelah toleransi tertentu tercapai.

Secara empiris, saya telah menemukan situasi di mana ekstrim pertama lebih baik, dan situasi berbeda di mana ekstrim kedua lebih baik (dalam hal total biaya). Namun, saya tidak dapat menemukan alasan yang jelas mengapa situasi tertentu mendukung satu strategi daripada yang lain.

Apakah ada petunjuk atau teori tentang kapan strategi yang berbeda ini lebih disukai?

preconditioning krylov-method

— Nick Algeria
sumber

Untuk setidaknya situasi ketiga (menengah) dalam daftar Anda, tempat yang baik untuk memulai mungkin adalah Simoncini dan Szyld, Metode Subruang Krylov Luar-Dalam yang Fleksibel, SIAM J. Numer. Anal 40 hal. 2219-2239.

— Andrew T. Barker

Terima kasih untuk referensi, saya ingin tahu apa yang mereka miliki di sana. Anehnya, dalam praktiknya saya menemukan melakukan berbagai bentuk situasi menengah untuk memberikan kinerja terburuk sejauh ini. Jika angka toleransi / iterasi tetap, solver luar cenderung menggantung pada tingkat kesalahan toleransi dalam. Dimulai dengan toleransi batin yang besar dan menguranginya ketika metode luar berkembang juga tampaknya berkinerja lebih buruk daripada hanya mengatur toleransi batin yang kecil.

— Nick Alger

Apakah Anda menggunakan metode Krylov yang fleksibel? Hasil yang Anda gambarkan adalah apa yang saya harapkan jika Anda tidak melakukannya. Situasi menengah adalah persis di mana prasyarat (sedikit) berbeda pada setiap iterasi, yaitu ketika metode Krylov yang fleksibel diperlukan.

— Andrew T. Barker

Pertanyaan ini telah terbuka untuk waktu yang lama, tetapi saya pikir masih layak untuk dijawab.

$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$ $K$ $Ax=b$ $N$ $\tau$ $P\approx A^{-1}$ $K$ $b$

$K(A,P,0,\infty;\cdot)$ $Ax=b$ $K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$ $b$ $b$ $r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$ $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ $N$ $\tau$

$K(A,P,\tau,N; \cdot)$ $A$

Ini berbeda dengan banyak metode lain yang digunakan untuk prasyarat: misalnya, satu langkah SSOR adalah operasi linear pada vektor yang Anda terapkan, seperti juga semua metode lain yang menerapkan satu langkah dari iterasi titik tetap.

Masalah mendasar sekarang adalah bahwa sebagian besar metode ruang Krylov memang mengharuskan pendahulunya adalah operator linier. Mereka tidak akan konvergen jika preconditioner tidak linier, menjelaskan pengamatan Anda. Di sisi lain, ada variasi beberapa metode ruang Krylov - biasanya diawali dengan kata "Fleksibel", seperti F-GMRES di "Fleksibel GMRES" - yang mengatasi hal ini dan yang dapat menangani prekondisi yang tidak linier operator. Varian fleksibel dari metode asli ini masih akan menyatu, dan seringkali merupakan metode yang kuat ketika digabungkan dengan prekondisi yang baik (tetapi nonlinier).

— Wolfgang Bangerth
sumber