Bagaimana menemukan nilai eigen interior dengan metode ruang bagian krylov?

Saya bertanya-tanya bagaimana menemukan nilai eigen dari beberapa matriks jarang dalam interval yang diberikan [a, b] dengan metode iteratif. Menurut pemahaman pribadi saya, lebih jelas menggunakan metode ruang bagian Krylov untuk menemukan nilai eigen ekstrem daripada nilai interior.

linear-algebra

— Willowbrook
sumber

Sudahkah Anda mempertimbangkan jawaban yang diberikan di sini ?

— Deathbreath

Saya ingin tahu ... Seberapa besar matriks Anda? Apakah Anda memerlukan semua nilai eigen interior, atau yang paling dekat dengan nilai tertentu?

— Paul

@ Paul Ini hanya penelitian on-goning, ukurannya akan menjadi miliar demi miliar matriks tipis, dan kita hanya perlu beberapa nilai eigen dalam interval tertentu untuk melakukan pemodelan.

— Willowbrook

@Deathbreath Terima kasih atas pengingat Anda. Saya sudah mempertimbangkan jawaban itu.

— Willowbrook

Mungkin Anda sudah tahu ressource itu, tetapi mungkin bermanfaat juga ... www-users.cs.umn.edu/~saad/eig_book_2ndEd.pdf salam, Tom

— Tom

Strategi berikut ini disebut shift and invert dan tergantung pada dua fakta penting:

$A-\tau I$ $A$ $\tau$ $\lambda \in \sigma(A)$ $\lambda-\tau \in \sigma(A-\tau I)$
$A$ $A^{-1}$ $A$ $\lambda \in \sigma(A)$ $1/\lambda \in \sigma(A^{-1})$

$A-\frac{a+b}{2}I$ $A$ $\frac{a+b}{2}$ $A$ $\frac{a+b}{2}$ $(A-\frac{a+b}{2}I)^{-1}$

— Jack Poulson
sumber

Pertanyaan saya adalah dengan metode shift dan invert, kita dapat memperkuat semua nilai eigen di dekat a, yang tentu saja akan menyertakan yang tidak diinginkan yang awalnya kurang dari a, dan kemudian bagaimana menyaring nilai eigen tersebut. Pertanyaan lain adalah bagaimana menggunakan titik akhir b lainnya dalam interaksi.

— Willowbrook

Mungkin untuk menyaring nilai eigen tertentu dengan menggunakan filter polinomial. Untuk gambaran umum yang dapat diakses dari teknik ini, lihat Sorensen: "Metode numerik untuk masalah nilai eigen besar" di Acta Numerica journals.cambridge.org/action/…

— Reid.Atcheson

c = (a + b) / 2

$c=(a+b)/2$