Perkirakan norma fungsional kotak hitam

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi-terbatas dengan norma $\|\cdot\|$ dan biarkan $F : V \rightarrow \mathbb R$ menjadi fungsional linier terbatas. Itu hanya diberikan sebagai kotak hitam.

Saya ingin memperkirakan norma $F$ (dari atas dan bawah). Karena $F$ adalah kotak hitam, satu-satunya cara untuk melakukannya adalah mengujinya dengan vektor satuan dari $V$ dan, berdasarkan hasilnya, temukan $v \in S^1 V$ yang memaksimalkan $|F(v)|$.

Apakah Anda tahu algoritma seperti itu? Dalam aplikasi yang ada dalam pikiran saya, $V$ adalah ruang elemen hingga dan $F$ adalah fungsi rumit pada ruang itu.

EDIT: Gagasan pertama saya adalah memilih $v \in S^1 V$ secara acak, ganggu menjadi beberapa arah, katakanlah, $v_1,\dots,v_k$ , dan kemudian ulangi prosedur dengan $v_i$ yang mendapat $F(v_i)$ . Saya tidak tahu di mana menemukan algoritma dan analisis untuk masalah ini.

Jika spasi adalah ruang Hilbert, maka teorema Riesz mengatakan bahwa Anda dapat mewakili dan Anda dapat menghitung seperti yang Anda sebutkan dengan mencoba vektor satuan. Jika ruang dimensi lebih tinggi, maka ini menjadi tidak praktis, tetapi Anda setidaknya dapat menghitung estimasi dengan menghitung untuk urutan vektor acak .$V$$F(v)=\left< f, v \right>$$f$$f$$F(v)$$v$

Mungkin Anda dapat memodifikasi penaksir angka kondisi Hager (lihat, misalnya, kertas http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), yang mengikatketika faktorisasi diketahui, berfungsi untuk kasus khusus Anda.$\|A^{-1}\|$$A$