Bagaimana cara sampel poin dalam ruang hiperbolik?

Ruang hiperbolik di Poincaré atas setengah model ruang tampak seperti biasa tetapi dengan gagasan sudut dan jarak terdistorsi dengan cara yang relatif sederhana. Dalam ruang Euclidean saya dapat sampel titik acak secara seragam dalam bola dalam beberapa cara, misalnya dengan menghasilkan sampel Gaussian independen untuk mendapatkan arah, dan secara terpisah sampel koordinat radial dengan pengambilan sampel seragam dari , di mana adalah jari-jari, dan pengaturan $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . Dalam bidang setengah atas hiperbolik, sebuah bola kebetulan masih berupa bola, hanya pusatnya yang tidak akan menjadi pusat dalam metrik Euclidean, jadi kita bisa melakukan hal yang sama.

Jika kita ingin mengambil sampel berdasarkan distribusi yang tidak seragam, tetapi masih dalam cara isotropik, misalnya distribusi Gaussian, ini sepertinya tidak mudah. Dalam ruang Euclidean kita hanya bisa menghasilkan sampel Gaussian untuk setiap koordinat (ini hanya berfungsi untuk distribusi Gaussian), atau menghasilkan sampel Gaussian multidimensi yang setara. Apakah ada cara langsung untuk mengubah sampel ini menjadi sampel dalam ruang hiperbolik?

Pendekatan alternatif bisa dengan pertama-tama menghasilkan arah yang terdistribusi secara seragam (misalnya dari sampel Gaussian) kemudian sampel Gaussian untuk komponen radial, dan akhirnya menghasilkan gambar di bawah peta eksponensial dalam arah yang ditentukan untuk panjang yang ditentukan. Variasi hanya dengan mengambil sampel Gaussian Euclidean dan memetakannya di bawah peta eksponensial. $n$

Pertanyaan saya:

apa yang akan menjadi cara yang baik dan efisien untuk mendapatkan sampel Gaussian dengan mean dan standar deviasi yang diberikan dalam ruang hiperbolik?
apakah cara-cara yang saya jelaskan di atas memberikan contoh yang diinginkan?
apakah sudah ada yang tahu rumusnya?
bagaimana cara ini menggeneralisasi ke metrik lain dan distribusi probabilitas lainnya?

Terima kasih sebelumnya.

EDIT

Saya baru menyadari bahwa bahkan dalam kasus pengambilan sampel yang seragam pertanyaan-pertanyaan ini tetap ada; meskipun bola adalah bola, distribusi yang seragam tidak akan dijelaskan oleh fungsi konstan pada bola.

— doetoe
sumber

@ ya, terima kasih atas komentar Anda. Pada setiap ruang topologi Anda memiliki aljabar Borel sigma, yang dihasilkan oleh topologi. Metrik Riemannian memberi Anda gagasan tentang volume. Jika volume totalnya terbatas, ini dapat dinormalisasi untuk memberikan distribusi probabilitas, atau lebih umum itu memberi Anda distribusi probabilitas seragam secara langsung pada set volume volume terbatas yang dapat diukur. Karena Anda memiliki struktur geometris, termasuk pengertian geodesik dan panjang busur, Anda juga dapat menentukan distribusi Gaussian dengan kepadatan probabilitas yang meluruh dengan jarak dengan cara yang sama seperti di ruang euclidean

— doetoe

@ ya Mungkin lebih mudah untuk sampel di sekitar pusat bola dalam model bola dan kemudian mengangkutnya melalui isometry, setidaknya Euclidean dan rotasi hiperbolik di sekitar pusat bertepatan. Jika ini memang yang paling efisien, pertanyaannya akan berkurang menjadi bagaimana mengambil sampel di sekitar pusat dalam model disk sesuai dengan distribusi normal untuk metrik hiperbolik.

— doetoe

Anda harus dapat mengadaptasi manifold Mark Girolami Riemannian MCMC untuk menghasilkan sampel di sini. Tapi itu mungkin berlebihan. Anda melakukan MCMC, tetapi Anda menghasilkan proposal dengan menembak geodesics dari titik saat ini.

— Nick Alger

@NickAlger yang kedengarannya menarik, apakah Anda memiliki tautan?

— doetoe

Inilah makalah utamanya tentang hal itu. Mereka mengubah masalah pengambilan sampel distribusi tidak seragam pada ruang datar menjadi masalah pengambilan sampel distribusi seragam pada manifold, sedangkan Anda mulai dengan distribusi seragam pada manifold. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Saya sedang melakukan ini untuk diri saya sendiri. Saya pikir analog yang paling tepat untuk Gaussian akan menjadi kernel panas di ruang hiperbolik. Untungnya, ini telah dipecahkan sebelumnya: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (juga tersedia di Bulletin Masyarakat Matematika London ).

Jika Anda menggunakan peluruhan standar ( ), saya berharap bahwa massa total akan lebih besar dari 1, karena peningkatan volume yang eksponensial dengan jari-jari untuk ruang hiperbolik. $e^{-dist^2/constant}$

Untuk sampel secara seragam pada bola yang diberikan (atau perangkat kompak lainnya), seseorang dapat melakukan pengambilan sampel penolakan dengan bentuk volume:

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Berikut adalah sampel seragam untuk bola jari-jari 3 yang berpusat di titik asal:

Jika diinginkan, saya akan senang untuk mengatakan lebih banyak. Saya hanya berpikir saya akan memasang ini, karena jelas ada minat dalam hal ini, setidaknya di masa lalu.

— Edward Chien
sumber

Terima kasih! Saya belum punya waktu untuk mempelajari artikel yang disukai, tetapi terlihat menarik dan relevan

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

Pi konstan hanyalah konstanta dalam ruang Euclidean. Nilai pi berbeda dalam geometri lainnya. Parameter pi mengubah massa probabilitas di bawah Gaussian. Parameter pi digunakan untuk menormalkan probabilitas. Saya baru mulai mempelajari ini.

Saya menyimpulkan beberapa waktu yang lalu bahwa ruang berubah dari hiperbolik menjadi Euclidean menjadi bulat ketika jumlah sigma meningkat. Saya senang berlari melintasi diskusi lingkaran di setiap ruang dan pi sebagai fungsi ruang Lp melalui parameter p.

— David W Locke
sumber