Bagaimana merumuskan matriks massa terpusat dalam FEM

Ketika memecahkan PDE tergantung waktu menggunakan metode elemen hingga, misalnya mengatakan persamaan panas, jika kita menggunakan stepping waktu eksplisit maka kita harus menyelesaikan sistem linear karena matriks massa. Misalnya jika kita tetap dengan contoh persamaan panas,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

kemudian gunakan forward Euler yang kita dapatkan

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

dan meskipun kita menggunakan skema loncatan waktu eksplisit, kita masih harus menyelesaikan sistem linear. Ini jelas merupakan masalah besar karena keuntungan utama menggunakan skema eksplisit adalah TIDAK harus menyelesaikan sistem linear. Saya telah membaca bahwa cara umum untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menggunakan matriks massa "lumped" yang mengubah matriks massa reguler (konsisten?) Menjadi matriks diagonal dan dengan demikian membuat inversi sepele. Setelah melakukan pencarian google namun saya masih tidak sepenuhnya yakin bagaimana matriks massa yang disatukan ini dibuat. Contohnya melihat kertas yang PERLUASAN NUMERIK DI PENUMPANG MASSA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI-DIFUSIoleh Edson Wendland Harry dan Edmar Schulz mereka membuat matriks massa terpusat mereka dengan hanya menjumlahkan semua koefisien ke diagonal. Jadi misalnya jika matriks massa konsisten asli kami adalah:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

maka matriks massa yang disatukan adalah:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Pertanyaan saya kemudian adalah: Apakah ini cara yang benar untuk membentuk matriks massa yang disatukan? Kerugian apa yang ada saat menggunakan matriks massa disejajarkan daripada matriks massa konsisten penuh dalam hal akurasi? Para penulis makalah yang saya sebutkan sebenarnya menyarankan untuk tidak menggunakan matriks massa yang disamakan, meskipun tampaknya mereka hanya menggunakan skema loncatan waktu implisit yang saya pikir aneh mengingat bahwa alasan utama untuk menggunakan matriks seperti itu adalah untuk metode eksplisit.

Catatan: Saya tidak akan pernah menggunakan maju Euler untuk menyelesaikan persamaan panas, itu hanya contoh. Juga jika itu penting masalah saya adalah menyelesaikan persamaan Navier Stokes di mana istilah nonlinier diperlakukan secara eksplisit dan istilah difusi diperlakukan secara implisit.

Terima kasih

finite-element time-integration navier-stokes

— James
sumber

O (n^{2})

$O(n^{2})$

Ya saya bisa melakukan itu jika saya menggunakan solver langsung, tetapi jika saya menggunakan PCG atau solver iteratif lainnya saya tidak berpikir itu akan membantu

— James

Secara pribadi saya tidak percaya lumping massa secara matematis. Secara komputasi, itu tidak memberi Anda keuntungan apa pun kecuali Anda bertujuan untuk melangkah waktu secara eksplisit, dalam hal ini matriks massa diagonal membuat lebih mudah untuk dipecahkan. Jika Anda menggunakan metode loncatan waktu implisit, Anda tidak mendapatkan sparsity dalam matriks. Saya pikir Anda hanya mendapatkan kesalahan pada saat itu dengan tidak menggunakan matriks yang konsisten.

— Paul

Saya terkejut tidak ada yang menyebutkan metode Fried dan Markus (1975) untuk segiempat, yang menggunakan node pada titik-titik Lobatto untuk menghindari hilangnya kesalahan pemotongan. Bukan masalah sampai Anda mencapai kubik, tetapi menghalangi elemen kebetulan. Idenya telah diperluas ke segitiga, tetapi membutuhkan dasar dan quadrature khusus.

— L. Young

Saya tidak berpikir bahwa ada jawaban yang pasti untuk ini, karena mungkin berubah dari satu topik ke topik lainnya (dan juga tergantung pada jenis elemen yang Anda gunakan). Ada beberapa makalah terbaru yang membicarakan hal itu, [2]. Jadi, ini bukan diskusi tertutup. Selanjutnya, Anda dapat memiliki komponen inersia yang berbeda (setidaknya dalam mekanika), ketika Anda memiliki elemen dengan kendala kinematik seperti balok atau cangkang.

Zienkiewicz (Lihat [1], bagian 16.2.4) membahas tiga metode untuk menggumpalkan matriks massa

${M.}_{saya saya}^{(disamakan)} = \sum_{j} {M.}_{saya j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
${M.}_{saya saya}^{(disamakan)} = c {M.}_{saya saya}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

Tidak semua metode berfungsi dalam semua kasus, misalnya, metode jumlah baris tidak berfungsi untuk elemen kebetulan 8-simpul karena akan menyebabkan massa negatif.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

{M.}_{saya saya}^{(disamakan)} = \frac{{M.}_{tot}}{T r (M.)} {M.}_{saya saya} (tidak ada penjumlahan pada saya) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

Saya juga menggunakan metode 3 dengan apa yang disebut Metode Elemen Spektral dengan simpul Lobatto (menggunakan lokasi ini sebagai titik dan titik integrasi), yang secara otomatis mengarah ke matriks diagonal.

Dari [1], Anda dapat melihat gambar ini menjelaskan beberapa metode untuk beberapa jenis elemen Mass lumping untuk beberapa elemen hingga dua dimensi

Referensi

[1] Zhu, J., ZRL Taylor, dan OC Zienkiewicz. "Metode elemen hingga: dasarnya dan dasarnya." (2005): 54-102.

[2] Felippa, Carlos A., Qiong Guo, dan KC Park. "Templat matriks massa: Deskripsi umum dan contoh 1d." Arsip Metode Komputasi dalam Rekayasa 22.1 (2015): 1-65.

— nicoguaro
sumber