Apa gagasan umum metode Nitsche dalam analisis numerik?

Saya tahu bahwa metode Nitsche adalah metode yang sangat menarik karena memungkinkan untuk memperhitungkan kondisi batas tipe Dirichlet atau kontak dengan kondisi batas gesekan dengan cara yang lemah tanpa menggunakan pengganda Lagrange. Dan keuntungannya, yaitu mengubah kondisi batas Dirichlet menjadi istilah lemah seperti halnya kondisi batas Neumann, dibayar oleh fakta bahwa implementasi tergantung pada model.

Namun, sepertinya terlalu umum untukku. Bisakah Anda memberi saya ide yang lebih spesifik tentang metode ini? Contoh sederhana akan dihargai.

Metode Nitsche terkait dengan metode Galerkin diskontinyu (memang, seperti yang ditunjukkan Wolfgang, itu adalah pendahulu dari metode ini), dan dapat diturunkan dengan cara yang serupa. Mari kita pertimbangkan masalah paling sederhana, persamaan Poisson: Kami sekarang mencari formulasi variasional itu

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$

1. puas dengan solusi (lemah) (yaitu, konsisten),$u\in H^1(\Omega)$
2. simetris dalam $u$ dan $v$ ,
3. mengakui solusi unik (yang berarti bahwa bentuk bilinear adalah koersif).

Kita mulai seperti biasa dengan mengambil bentuk kuat dari persamaan diferensial, mengalikannya dengan fungsi tes dan mengintegrasikan dengan bagian-bagian. Dimulai dengan sisi kanan, kita memperoleh di mana dalam persamaan terakhir kami telah menambahkan nol produktif pada batas. Mengatur ulang istilah untuk memisahkan bentuk linear dan bilinear sekarang memberikan persamaan variasional untuk bentuk bilinear simetris yang dipenuhi untuk solusi dari .( f , v ) = ( - Δ u , v $v\in H^1(\Omega)$ 0=u-gu∈H1(Ω)(1

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

Namun, bentuk bilinear bukan paksaan, karena Anda tidak dapat mengikatnya dari bawah untuk oleh (karena kami tidak memiliki syarat batas untuk arbitrary , kita tidak dapat menggunakan ketidaksetaraan Poincaré seperti biasa - ini berarti kita dapat membuat bagian dari norma menjadi besar secara sewenang-wenang tanpa mengubah bentuk bilinear). Jadi kita perlu menambahkan istilah lain (simetris) yang hilang untuk solusi yang benar: untuk beberapa cukup besar. Ini mengarah pada formulasi lemah (simetris, konsisten, koersif): Cari sedemikian rupa sehingga c ‖ v ‖ 2 H 1 v ∈ H 1 ( Ω ) L 2 η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$η > 0 u ∈ H 1 ( Ω ) ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ ∂ ν u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

Mengambil alih-alih pendekatan terpisah menghasilkan perkiraan Galerkin biasa. Perhatikan bahwa karena tidak sesuai karena kondisi batas (kami mencari solusi diskrit dalam ruang yang lebih besar dari yang kami cari solusi kontinu), seseorang tidak dapat menyimpulkan posisi yang baik dari masalah diskrit dari masalah terus menerus. Nitsche sekarang menunjukkan bahwa jika dipilih sebagai untuk cukup besar, masalah diskrit sebenarnya stabil (sehubungan dengan norma yang bergantung pada mesh yang cocok).$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Ini bukan derivasi asli Nitsche, yang mendahului metode Galerkin terputus-putus dan dimulai dari masalah minimisasi yang setara. Bahkan, makalah aslinya tidak menyebutkan bentuk bilinear yang sesuai sama sekali, tetapi Anda dapat menemukannya di, misalnya, Freund dan Stenberg, Pada kondisi batas yang diberlakukan secara lemah untuk masalah tingkat kedua , Prosiding Elemen Hingga Kesembilan Int. Elemen Hingga di Cairan, Venesia 1995. M. Morandi Cecchi dkk., Eds. Hlm. 327-336 .)