Bagaimana cara mendeteksi multiplisitas untuk nilai eigen?

Misalkan A adalah matriks umum yang jarang, dan saya ingin menghitung nilai eigen. Saya tidak tahu cara mendeteksi multiplisitas untuk nilai eigen. Sejauh yang saya tahu, untuk kasus khusus, menemukan akar polinomial dengan metode matriks pengiring, kita dapat menerapkan RRQR untuk mendeteksi multiplisitas untuk akar.

linear-algebra

— Willowbrook
sumber

Tegasnya, masalah komputasi multiplisitas buruk, karena gangguan kecil sewenang-wenang dapat mengubah multiplisitas (biasanya menguranginya menjadi 1). Namun, untuk beberapa perkiraan, berikut ini berfungsi.

Jika Anda memiliki pendekatan nilai eigen yang dekat dan mampu faktor maka Anda dapat menerapkan metode ruang bagian dengan matriks untuk menemukan eigenspace dari nilai eigen Tutup untuk . Memproyeksikan ke basis ortonormal dari ruang itu dan menghitung dekomposisi Schur kemudian memberikan dekomposisi numerik ke dalam eigenspaces dan multiplisitasnya, sejauh metode numerik dapat menentukannya. $\sigma$ $A-\sigma I$ $B=(A-\sigma I)^{-1}$ $\sigma$

Jika Anda tidak mampu membeli faktorisasi tunggal, seseorang dapat melakukan hal-hal serupa dengan metode subruang langsung, tetapi dengan resolusi yang jauh lebih buruk.

— Arnold Neumaier
sumber

Contoh klasik untuk ini adalah matriks Forsythe, yang merupakan matriks pendamping dari polinomial , di mana cukup kecil. Matriks itu sendiri tidak cacat, tetapi hanya diperlukan sedikit gangguan (di sudut kanan atas) untuk mengubahnya menjadi blok Jordan, yang rusak.

x^{n} - ε

$x^n-\varepsilon$

ε

$\varepsilon$

— JM