Skema beda hingga implisit untuk persamaan advection

15

Ada banyak skema FD untuk persamaan advection diskusikan di web. Misalnya di sini: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html $\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Tapi saya belum melihat ada yang mengusulkan skema angin "implisit" seperti ini: . $\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Semua skema melawan angin yang saya lihat berurusan dengan data pada langkah waktu sebelumnya dalam turunan spasial. Apa alasan untuk itu? Bagaimana skema melawan angin klasik dibandingkan dengan yang saya tulis di atas?

finite-difference implicit-methods advection

— tiam
sumber

15

Ini cukup umum dalam dinamika fluida komputasi untuk menggunakan skema implisit mirip dengan apa yang Anda usulkan. Yang saya tahu didasarkan pada kompak formula beda hingga (tidak hanya pada mengganti dengan dalam skema yang sudah ada). Misalnya, salah satu skema yang paling banyak digunakan dikembangkan oleh Lele pada tahun 1992 dalam makalah ini dengan> 2500 kutipan. Skema semacam itu dapat dibuat memiliki sifat dispersif yang lebih baik daripada skema eksplisit tipikal. $n$ $n+1$

Upwinding biasanya kurang penting ketika menggunakan metode implisit dan ukuran langkah waktu yang besar, karena jumlah besar difusi (disebutkan oleh Jeremy) berarti Anda tidak dapat menyelesaikan kejutan.

Mengenai skema tertentu yang Anda usulkan:

Ini dapat diperoleh dari diskritisasi metode-garis dengan menggunakan perbedaan mundur dalam ruang dan metode Euler mundur (implisit) dalam waktu.
$u\ge0$ $u<0$
Ini lebih disipatif daripada skema melawan angin tradisional yang eksplisit.
$\tau u/h = 1$ $\tau u/h = -1$

— David Ketcheson
sumber

Poin bagus tentang skema kompak, ini tentu saja merupakan kelas penting dari skema implisit! Juga, tidak pernah memikirkan kondisi anti-unit CFL dan mundur Euler tepatnya ...

— Jeremy Kozdon

Saya bertanya-tanya, apakah

u

$u$ juga bisa berubah

x

$x$ dan dengan demikian duduk di dalam turunan spasial (dengan demikian kita mendapatkan persamaan kontinuitas jika kita ambil

ρ

$\rho$ dari pada

T

$T$ ) apakah skema angin sederhana masih OK?

— tiam

Adalah baik jika dapat mengobati kecepatan negatif, karena mungkin itu yang menjadi masalah dalam masalah saya.

— tiam

12

Tidak ada alasan bahwa Anda tidak dapat melakukan apa yang Anda tulis. Salah satu alasan mengapa hal ini tidak umum adalah karena ada masalah tipe hiperbolik (adveksi), domain ketergantungan adalah terbatas. Dengan demikian metode eksplisit masuk akal dari sudut pandang efisiensi komputasi.

Skema implisit yang Anda tulis akan membutuhkan penyelesaian sistem linier, meskipun dalam kasus Anda telah menulis segitiga, dan dengan demikian cukup mudah dipecahkan. Tentu saja ketika Anda pergi ke sistem, dan beberapa dimensi, sistem kemungkinan tidak akan berbentuk segitiga, meskipun kadang-kadang ini dapat mengakibatkan pemesanan yang tepat untuk Anda yang tidak dikenal (lihat misalnya Kwok dan Tchelepi, JCP 2007 dan Gustafsson dan Khalighi, JSC, 2006 ).

Terkadang dengan harapan mengambil langkah waktu yang besar, orang akan menggunakan langkah waktu implisit seperti yang Anda tulis, tetapi Anda harus berhati-hati di sini. Ketika menggunakan metode implisit, Anda akan memperkenalkan sejumlah besar difusi sehingga Anda akan mengolesi solusi Anda secara signifikan.

— Jeremy Kozdon
sumber

1

@ Jeremy: mengapa diskritisasi implisit dalam waktu memperkenalkan difusi tambahan? di

x

$x$ -variabel? Saya hanya dapat berpikir bahwa skema arah angin = diskritisasi sentral + difusi, jadi mengapa diskritisasi waktu yang berbeda akan mempengaruhi difusi ini?

— Kamil