Dalam FEM, mengapa matriks kekakuan positif pasti?

10

Di kelas FEM, biasanya diterima begitu saja bahwa matriks kekakuan adalah pasti positif, tapi saya tidak bisa mengerti mengapa. Adakah yang bisa memberikan penjelasan?

Sebagai contoh, kita bisa mempertimbangkan masalah Poisson: yang matriks kekakuannya adalah: yang simetris dan pasti positif. Simetri adalah sifat yang jelas, tetapi kepastian positif tidak begitu jelas bagi saya.

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— pengguna123
sumber

1

Ini sebenarnya tergantung pada persamaan diferensial parsial yang Anda coba pecahkan. Bisakah Anda menambahkan yang Anda minati?

— Christian Clason

Hai, @ChristianClason, terima kasih atas komentar Anda. Saya telah menambahkan contoh nyata dari masalah ini.

— user123

3

Peringatan: Tanpa syarat batas, matriks kekakuan sistem yang lengkap, yang dirakit dari matriks elemen, tidak memiliki peringkat penuh, karena harus memetakan persamaan gerakan benda yang kaku ke gaya nol. Dengan demikian matriks kekakuan lengkap paling-paling bisa menjadi semidefinit positif. Namun dengan kondisi batas yang tepat, gerakan benda yang kaku dinonaktifkan, dan sistem yang dibatasi kemudian menjadi nonsingular. (Kalau tidak, orang tidak bisa menyelesaikannya). Oleh karena itu, untuk menemukan kepastian positif yang sebenarnya, Anda harus melihat matriks terkondensasi yang dihasilkan dari penerapan kondisi batas.

— ccorn

13

Properti berikut dari properti persamaan diferensial parsial (bentuk lemah); ini adalah salah satu kelebihan dari metode elemen hingga dibandingkan dengan, misalnya, metode beda hingga.

Untuk melihat itu, pertama-tama ingat bahwa metode elemen hingga dimulai dari bentuk lemah dari persamaan Poisson (Saya mengasumsikan kondisi batas Dirichlet di sini): Cari sedemikian sehingga Properti penting di sini adalah (Ini mengikuti ketidaksetaraan Poincaré.) $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Sekarang pendekatan elemen hingga klasik adalah untuk mengganti ruang dimensi tak terbatas dengan subruang dimensi-terbatas dan temukan sedemikian sehingga Properti penting di sini adalah bahwa Anda menggunakan dan subruang yang sama ( diskritisasi yang sesuai ); itu artinya Anda masih memiliki $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Sekarang untuk langkah terakhir: Untuk mengubah bentuk variasi menjadi sistem persamaan linear, Anda memilih basis dari , tulis dan masukkan , ke dalam . Matriks kekakuan kemudian memiliki entri (yang bertepatan dengan apa yang Anda tulis). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Sekarang ambil vektor sembarang dan set . Kemudian kita miliki dengan dan bilinearity dari (yaitu, Anda dapat memindahkan skalar dan jumlah ke kedua argumen) Karena arbitrer, ini menyiratkan bahwa adalah positif pasti. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Matriks kekakuan adalah pasti positif karena berasal dari diskritisasi yang sesuai dari persamaan diferensial parsial elliptic (self-adjoint) .

— Christian Clason
sumber

2

Jika kekakuan elemen tidak positif, maka sistem tidak stabil. Jadi modelnya kemungkinan besar tidak benar. Lihatlah persamaan osilator harmonik yang paling dasar

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Solusinya tidak stabil jika negatif (lihat akar dari persamaan karakteristik). Itu artinya solusinya akan meledak. Kekakuan harus menjadi kekuatan pemulih. Setidaknya untuk pegas fisik. Matriks kekakuan meluas ke sejumlah besar elemen (matriks kekakuan global). Itu semuanya. Tapi itu ide dasar yang sama. Dasar FEM adalah dalam metode matriks kekakuan untuk analisis struktural di mana setiap elemen memiliki kekakuan yang terkait dengannya. $k$

— Nasser
sumber