Aljabar Multigrid: Mengapa produk interpolasi dan pembatasan tidak menghasilkan sesuatu dengan norma 1?

12

Saat ini saya sedang bekerja dengan "Tutorial Multigrid" oleh Briggs et al, Bab 8.

Konstruksi operator interpolasi diberikan sebagai:

Kemudian konstruksi operator pembatasan dan operator grid diberikan sebagai:

Misalkan kita memiliki tiga titik kisi x0, x1, x2 dengan yang di tengah x1 baik-baik saja dan yang lainnya kasar. Yang tengah diinterpolasi oleh x1 = x0*w0 + x2*w2. Oleh karena itu, operator interpolasi adalah (dalam Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Operator pembatasan adalah:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Sekarang mari kita lihat apa yang akan terjadi jika seseorang akan membatasi dan kemudian menginterpolasi secara langsung, apa yang menghasilkan multiplikasi dari Idan transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Saya berharap bahwa matriks ini adalah sesuatu seperti matriks identitas atau setidaknya memiliki norma 1 atau sesuatu. Tetapi jika kita akan menerapkan x = [1, 1, 1] untuk katakanlah w0 = w2 = 0,5, kita akan mendapatkan [1,5 1,5 1,5]. Saya akan berasumsi bahwa berulang kali menerapkan operasi pembatasan-interpolasi setidaknya akan bertemu dengan sesuatu. Tetapi tidak, dalam hal ini semua komponen vektor dikalikan 1,5 pada setiap pembatasan-interpolasi. Itu tampak sangat aneh bagi saya.

Adakah yang bisa menjelaskan apa yang terjadi?

linear-algebra multigrid

— Michael
sumber

1

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

2 \times 3

$2\times 3$

8

$x$

— Jesse Chan
sumber

Aku mengerti itu. Tapi setidaknya saya berasumsi bahwa berulang kali menerapkan pembatasan dan interpolasi akan menyatu terhadap sesuatu. Tapi tidak - dalam kasus di atas semua elemen vektor akan dikalikan dengan 1,5 untuk setiap pembatasan-interpolasi. Sepertinya aneh bagi saya.

— Michael

Tentu - beberapa tanggapan singkat. (1) Smoothing dan normalisasi tidak diperhitungkan, yang biasanya diterapkan bersama dengan interpolasi / pembatasan. (2) Sebagian darinya mungkin menjadi pilihan bobot. Ini sering sesuai dengan pilihan yang berbeda dari operator interpolasi / pembatasan, beberapa di antaranya menghasilkan perilaku yang terbukti lebih baik daripada yang lain. (3) Ada operator interp / batasan lain yang interp + batasannya merupakan proyeksi. Misalnya, Anda dapat melakukan proyeksi global dari kasar ke jaringan halus, tetapi ini mahal dan tidak sepadan untuk pemecah masalah.

— Jesse Chan

4

$I^TI$

$E$ $EI$ $EI$ $(EI)(EI)=EI$

— Wolfgang Bangerth
sumber