pengamatan pointwise vs berkelanjutan dalam masalah inversi PDE

Saya mengerjakan masalah terbalik untuk Ph.D. penelitian, yang demi kesederhanaan kita akan katakan adalah menentukan dalam$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

dari beberapa pengamatan ; k 0 adalah konstanta dan f diketahui. Ini biasanya dirumuskan sebagai masalah optimasi untuk ekstremisasi$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

dengan adalah pengali Lagrange. Derivatif fungsional J sehubungan dengan β dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan adjoint$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Beberapa fungsional regularisasi ditambahkan ke masalah karena alasan biasa.$R[\beta]$

Asumsi yang tak terucapkan di sini adalah bahwa data yang diamati didefinisikan terus-menerus sepanjang domain Ω . Saya pikir mungkin lebih tepat untuk masalah saya daripada digunakan$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

Ini memberi saya jeda karena persamaan adjoint menjadi

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

Saya tidak dapat menemukan perbandingan asumsi pengukuran kontinu atau searah dalam masalah terbalik dalam literatur, baik dalam kaitannya dengan masalah spesifik yang saya kerjakan atau secara umum. Seringkali pengukuran pointwise digunakan tanpa menyebutkan masalah keteraturan baru jadi, misalnya di sini . Apakah ada karya yang diterbitkan yang membandingkan asumsi pengukuran kontinyu vs pointwise? Haruskah saya khawatir tentang fungsi delta dalam kasus pointwise?

Pengukuran bidang ini sering berupa potongan jerawatan dan hilang; mengapa interpolasi untuk mendapatkan bidang kesetiaan yang meragukan jika hal itu dapat dihindari?

Anda benar - sebagian besar waktu, interpolasi ke bidang berkelanjutan yang mencakup seluruh domain bukanlah pilihan. Pikirkan masalah prediksi cuaca, di mana pengukuran (sumber titik) hanya tersedia di lokasi domain tertentu. Saya akan mengatakan data point-wise lebih merupakan norma daripada pengecualian ketika Anda mempertimbangkan masalah terbalik "kehidupan nyata".

Tebakan terbaik saya adalah bahwa fungsional objektif harus didefinisikan dalam hal pendekatan elemen hingga ke semua bidang ( diskritkan-lalu-optimalkan ), daripada dalam hal bidang nyata dan kemudian diskritkan setelah ( optimalkan-kemudian-diskritkan ).

Kedua pendekatan ini tidak setara (kecuali untuk masalah yang sangat sederhana). Ada banyak literatur yang membandingkan dua pendekatan (masing-masing dengan kelebihan dan kekurangannya). Saya akan mengarahkan Anda ke arah monograf Max Gunzburger (khususnya akhir bab 2).

Apakah ada karya yang diterbitkan yang membandingkan asumsi pengukuran kontinu vs pointwise? Haruskah saya khawatir tentang fungsi delta dalam kasus pointwise?

Anda dapat mewakili istilah sumber Anda dengan tepat - yaitu, istilah sumber Anda akan dimodelkan sebagai (pendekatan diskrit ke a) Distribusi Dirac [ Arraya et al., 2006 ], atau Anda dapat memperkirakan istilah sumber dengan beberapa fungsi yang diatur (seperti yang dilakukan , misalnya, dalam metode batas terendam ). Lihatlah (sebagai permulaan) pada makalah baru-baru ini oleh Hosseini et al. (dan referensi di dalamnya).

Untuk memperluas jawaban @ GoHokies: Jika Anda tertarik dengan pertanyaan keteraturan, Anda juga dapat menanyakan apa "pengukuran titik" sebenarnya. Dalam latihan fisik, Anda tidak dapat mengukur apa pun pada "titik". Sebaliknya, Anda akan selalu mendapatkan semacam rata-rata di atas semacam potongan ruang-waktu: termometer bukan titik tetapi objek yang diperpanjang, dan butuh waktu untuk menyesuaikan dengan suhu medium di sekitarnya; perangkat pengukuran konsentrasi membutuhkan ukuran sampel yang terbatas; dll.

Apa ini artinya secara matematis adalah bahwa fungsi delta di fungsional Anda, benar-benar, rata-rata di daerah yang cukup kecil dan / atau interval waktu. Akibatnya, sisi kanan dalam persamaan ganda juga terbatas, dan tidak ada masalah keteraturan yang muncul.

Tentu saja, dalam praktiknya, Anda biasanya tidak akan dapat menyelesaikan interval ruang atau waktu kecil yang Anda ukur dengan mesh elemen hingga. Artinya, pada skala panjang yang bisa Anda selesaikan, sisi kanan memang terlihat tunggal, dan akibatnya juga solusinya. Tapi, karena Anda sudah memperkenalkan kesalahan diskritisasi, Anda juga dapat mengatur fungsi karakteristik volume yang Anda ukur dengan pendekatan diskrit dengan bobot yang sama; jika Anda melakukannya dengan benar, Anda akan memperkenalkan kesalahan yang tidak lebih besar dari kesalahan diskritisasi, demi mendapatkan fungsi sisi kanan yang bagus untuk persamaan ganda (diskrit).