Apa perbedaan antara perkiraan kesalahan 'a priori' dan 'posteriori' dalam analisis numerik?

Saya telah belajar tentang Metode Elemen Hingga (juga sedikit tentang metode numerik lainnya) tetapi saya tidak tahu apa sebenarnya definisi dari dua kesalahan dan perbedaan di antara mereka?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Anh-Thi DINH
sumber

Estimasi apriori (dari bahasa Latin "dari yang sebelumnya") hanya bergantung pada solusi yang tepat, tetapi bukan perkiraan yang dihitung, dan karenanya dapat dievaluasi (secara teori jika tidak dalam praktik) sebelum menghitung solusi. Sebaliknya, estimasi posteriori (dari bahasa Latin "from the later") bergantung pada solusi yang dihitung tetapi bukan solusi yang tepat, sehingga mereka memang membutuhkan komputasi solusi tetapi sebenarnya dapat dievaluasi dalam praktik.

— Christian Clason

@ChristianClason - jadikan ini jawaban!

— Wolfgang Bangerth

‖ kamu - {kamu}_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) atau metode berulang untuk menyelesaikan persamaan atau masalah optimisasi (dengan indeks iterasi - atau lebih tepatnya - sebagai pengganti ). Inti dari perkiraan seperti itu adalah untuk membantu menjawab pertanyaan "Jika saya ingin masuk ke dalam, katakanlah, dari solusi yang tepat, seberapa kecil saya harus memilih ?"

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

Perbedaan antara perkiraan apriori dan posterior adalah dalam bentuk sisi kanan : $C(h)$

Dalam perkiraan apriori , sisi kanan tergantung pada (biasanya secara eksplisit) dan , tetapi tidak pada . Misalnya, perkiraan a priori khas untuk pendekatan elemen hingga dari persamaan Poisson akan memiliki bentuk dengan konstanta tergantung pada geometri domain dan mesh. Pada prinsipnya, sisi kanan dapat dievaluasi sebelum menghitung $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ (karena itu namanya), sehingga Anda dapat memilih sebelum menyelesaikan apa pun. Dalam praktiknya, baik maupun $u_h$ $h$ $c$ diketahui (adalah yang Anda cari di tempat pertama), tetapi Anda kadang-kadang bisa mendapatkan estimasi urutan-atau-besarnya untukdengan secara hati-hati memeriksa buktinya dan untukmenggunakan data(yang diketahui). Penggunaan utama adalah sebagai perkiraan kualitatif - ini memberi tahu Anda bahwa jika Anda ingin membuat kesalahan lebih kecil dengan faktor empat, Anda perlu membagi dua. $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ $h$
Dalam perkiraan posteriori , sisi kanan tergantung pada dan , tetapi tidak pada . Estimasi posterior berbasis residu sederhana untuk persamaan Poisson adalah yang secara teori dapat dievaluasi setelah menghitung . Dalam praktiknya, $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ norma yang bermasalah untuk menghitung, sehingga Anda akan lebih memanipulasi sisi kanan untuk mendapatkan unsur-bijaksana terikat mana jumlah pertama adalah di atas elemen dari triangulasi, adalah ukuran , jumlah kedua adalah di atas semua batas elemen , dan menunjukkan lompatan turunan normal melintasi . Ini sekarang sepenuhnya dapat dihitung setelah mendapatkan , kecuali untuk konstanta . Jadi sekali lagi penggunaannya terutama kualitatif - ini memberi tahu Anda elemen mana yang memberikan kontribusi kesalahan lebih besar daripada yang lain, jadi alih-alih mengurangi $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ secara seragam, Anda cukup memilih beberapa elemen dengan kontribusi kesalahan besar dan membuatnya lebih kecil dengan membaginya lagi. Ini adalah dasar dari metode elemen hingga adaptif .

— Christian Clason
sumber

Jawaban ini persis apa yang saya butuhkan, terima kasih banyak.

— Anh-Thi DINH