Kegunaan elemen dengan stabilitas yang bergantung pada mesh

Setelah melakukan beberapa matematika yang berkaitan dengan stabilitas elemen dalam masalah 3D Stokes saya sedikit terkejut menyadari bahwa $P_2-P_1$ tidak stabil untuk mesh tetrahedral acak. Lebih tepatnya, jika Anda memiliki elemen di mana semua node dan tiga dari empat aspek terletak pada batas domain dengan kondisi Dirichlet, Anda akhirnya mendapatkan matriks tunggal. Ini sebenarnya cukup sepele untuk disimpulkan dari bentuk lemah dari sistem Stokes.

Saya menguji satu-satunya kode Stokes komersial yang dapat saya akses (COMSOL) dan memungkinkan saya untuk membuat mesh seperti itu. Setelah mengklik pecahkan saya mendapatkan 'Error: Singular matrix' seperti yang diharapkan. (Saya mendapat kesan bahwa COMSOL menggunakan $P_2-P_1$ untuk modul creeping flow-nya.)

Untuk menguji lebih lanjut bahwa masalahnya tidak terkait dengan konfigurasi lain, saya mencoba mesh berikut dan semuanya berfungsi seperti yang diharapkan.

Pertanyaan: Apakah kendala semacam ini diperhitungkan dalam generator mesh (adaptif atau non-adaptif)? Saya melihat dari berbagai makalah penelitian bahwa unsur ini tampaknya cukup populer. Apakah ketidakstabilan batas semacam ini umumnya diabaikan sebagai tidak penting ketika memilih metode untuk digunakan? Lebih penting lagi, apa sebenarnya artinya memiliki elemen hingga yang stabil , yaitu, ketidakstabilan seperti apa yang terlalu banyak sehingga kita menyimpulkan bahwa metode ini buruk?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
sumber

Pertanyaan menarik! Sejauh yang saya lihat, elemen-elemen ini biasanya hasil dari generasi mesh tetrahedral terstruktur pada kubus dan semacamnya dan hanya memainkan peran kecil dalam aplikasi nyata di mana Anda memiliki algoritma nodalisasi terstruktur. Saya telah mencoba sedikit sekitar beberapa waktu lalu dan tidak dapat menghasilkan mesh seperti itu dengan generator mesh yang memproduksi jerat yang sepenuhnya tidak terstruktur. Saya menduga mereka menggunakan mekanisme untuk menghindari elemen-elemen yang terlalu dibatasi. Saya tidak memiliki akses ke COMSOL, tetapi saya kira untuk sebagian besar pemecah masalah, elemen ini tidak menimbulkan masalah yang berarti.

— Christian Waluga

Saya ingin tahu apakah ini juga masalah dengan elemen MINI?

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Mesh generator umumnya memiliki opsi untuk menangani hal ini, misalnya 2D jala Generator bamgdari freefem++memiliki -splitpbedgepilihan yang menambahkan node di tengah-tengah setiap tepi memiliki kedua ujung di perbatasan. Menurut bamgdokumentasi, generasi mesh yang tidak terstruktur dapat mengembalikan segitiga seperti itu.

— Joce
sumber

Apakah Anda yakin ini adalah contohnya dengan Taylor-Hood di 2D Stokes? Intuisi saya memberi tahu saya bahwa DOF yang terkait dengan edge menyelamatkan situasi di sana. Dalam 3D Taylor-Hood, tidak ada DOF yang terkait dengan segi dan karenanya ketidakstabilan terjadi.

— knl

Anda benar, mungkin itu masalahnya. Saya pikir bukti Verfuhrt dari kondisi inf-sup untuk Taylor-Hood cukup konstruktif untuk memeriksa ini, tetapi tidak ada waktu sekarang.

— Joce