Cepat, dan The Mundur-Stabil (kiri)

Saya perlu untuk menghitung banyak $3\times3$ invers matriks (untuk Newton iterasi dekomposisi polar), dengan jumlah yang sangat kecil dari kasus degenerasi ( $<0.1\%$ ).

Pembalikan eksplisit (melalui matriks anak di bawah umur dibagi dengan penentu) tampaknya berfungsi, dan sekitar ~ 32 ~ 40 jepit menyatu (tergantung pada bagaimana saya menghitung kebalikan dari penentu). Tidak mempertimbangkan faktor skala det, itu hanya 18 fisting flops (masing-masing dari 9 elemen adalah dari bentuk ab-cd, 2 fused flop).

Pertanyaan:

Apakah ada cara untuk menghitung invers $3\times 3$ menggunakan kurang dari 18 (dengan skala arbitrer) atau 32 (dengan skala yang tepat, mempertimbangkan timbal balik 1 op) jepit menyatu?
Apakah ada cara yang ekonomis (menggunakan ~ 50 f-jepit) untuk menghitung mundur-stabil meninggalkan terbalik dari $3\times 3$ matriks?

Saya menggunakan pelampung presisi tunggal (game iOS). Stabilitas mundur adalah konsep baru yang menarik bagi saya dan saya ingin bereksperimen. Inilah artikel yang memancing pemikiran itu.

— Sergiy Migdalskiy
sumber

Bagaimana dengan menggunakan teorema Cayley-Hamilton untuk kebalikannya?

— nicoguaro

Jika ini merupakan hambatan bagi Anda, dapatkah algoritma lain untuk dekomposisi kutub lebih cepat dalam kasus ini? Melalui SVD, misalnya? Atau mempercepat metode Newton seperti dalam 3.3 dari eprints.ma.man.ac.uk/694/01/covered/MIMS_ep2007_9.pdf ?

— Kirill

$3\times 3$

A = [\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{array}]

$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$

$1/\det(A)$ $A$ $a,\ldots,i$

A^{- 1} det (A) = adj (A) = [\begin{array}{ccc} e i - f h & d i - f g & g e - d h \\ b i - c h & a i - c g & a h - b g \\ c e - b f & a f - c d & a e - b d \end{array}]

$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

Namun, beberapa perhitungan dapat digunakan kembali untuk perhitungan . Jika saya memperluasnya di kolom pertama (ada 5 pilihan lain): Perhatikan, bahwa (* ) telah dihitung selama evaluasi . Jadi, kebalikan dari determinan dapat dihitung dalam 4 tambahan flop flop (jika timbal balik dianggap sebagai 1 flop). $\det(A)$

\begin{aligned} det (A) & = a (e i - f h) + b (f g - d i) + c (d h - g e) \\ = a \underset{*}{\underset{⏟}{(e i - f h)}} - b \underset{*}{\underset{⏟}{(d i - f g)}} - c \underset{*}{\underset{⏟}{(g e - d h)}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$

adj (A)

$\text{adj}(A)$

1 / det (A)

$1/\det(A)$

Sekarang, setiap 9 elemen dari harus diskalakan dengan kebalikan dari determinan yang telah diperoleh, dengan menambahkan 9 flop jepit lainnya. $\text{adj}(A)$

Begitu,

Hitung dalam 18 jepit menyatu $\text{adj}(A)$
Hitung dalam 3 jepit menyatu menggunakan entri yang sudah dihitung $\det(A)$ $\text{adj}(A)$
Temukan (dengan asumsi 1 gagal). $\frac{1}{\det(A)}$
Skala setiap elemen dari sudah dikomputasi oleh di 9 flop jepit lainnya. $\text{adj}(A)$ $\frac{1}{\det(A)}$

Menghasilkan 18 + 3 + 1 + 9 = 31 jepit menyatu . Anda tidak menjelaskan cara Anda menghitung determinan, tetapi saya kira 1 kegagalan tambahan dapat disimpan. Atau dapat digunakan untuk melakukan pemeriksaan pada langkah 3, di mana adalah toleransi untuk kasus degenerasi (tidak dapat dibalikkan), menghasilkan 32 flop yang menyatu (dengan asumsi 1 flop). $|\det(A)|>\epsilon$ $\epsilon$ if

Saya tidak berpikir ada cara yang lebih cepat untuk menghitung kebalikan dari matriks umum karena semua perhitungan yang tersisa adalah unik. Menggunakan Cayley-Hamilton seharusnya tidak membantu dari perspektif kecepatan, seperti secara umum, itu akan memerlukan perhitungan untuk matriks selain beberapa operasi lainnya. $3\times 3$ $A^2$ $3\times 3$

NB:

jawaban ini tidak berurusan dengan stabilitas numerik
kemungkinan potensi vektorisasi dan optimalisasi pola akses memori juga tidak dibahas

— Anton Menshov
sumber