Penggunaan peta seri daya

Saya dari bidang fisika akselerator, khususnya yang terkait dengan cincin penyimpanan melingkaruntuk sumber cahaya synchrotron. Elektron berenergi tinggi beredar di sekitar cincin, dipandu oleh medan magnet. Elektron beredar miliaran kali dan seseorang ingin memprediksi stabilitas. Anda dapat menggambarkan gerakan elektron pada satu titik di cincin dalam hal ruang fase (posisi, ruang momentum). Setiap putaran cincin, partikel kembali ke posisi dan momentum baru, dan ini mendefinisikan peta dalam ruang fase yang disebut "peta satu putaran". Kita dapat mengasumsikan bahwa ada titik tetap pada titik asal, dan sehingga dapat diperluas dalam rangkaian daya. Dengan demikian, orang ingin tahu tentang stabilitas peta seri daya berulang. Ada banyak pertanyaan sulit tentang ini, dan topik ini memiliki sejarah lama. Banyak perpustakaan telah dilaksanakan - untuk mengimplementasikan yang disebut Aljabar Seri Daya Terpotong. (Lihat misalnyamakalah ini tentang zlib oleh Y. Yan. Lebih banyak latar belakang pada fisika dan satu pendekatan untuk analisis adalah pendekatan bentuk normal, misalnya Bazzani et. Al. di sini .) Pertanyaannya adalah bagaimana menggunakan perpustakaan seperti itu, dan bagaimana menyelesaikan masalah stabilitas. Pendekatan utama yang digunakan dalam dinamika balok adalah analisis bentuk normal, yang menurut saya tidak berhasil. Saya bertanya-tanya apakah beberapa jenis metode spektral telah dikembangkan di bidang lain (mungkin sepanjang garis seperti ini?). Bisakah seseorang memikirkan domain lain di mana stabilitas jangka panjang dari peta seri daya berulang dengan titik tetap di titik asal dianalisis, sehingga kami dapat berbagi pengetahuan atau mendapatkan beberapa ide baru? Salah satu contoh yang saya tahu adalah karya Fishman dan "Mode Akselerator" dalam fisika atom. Apakah ada yang lain? Sistem apa yang dapat dimodelkan sebagai rotor yang ditendang, atau peta Henon?

algorithms polynomials

— Boas
sumber

Saya pikir mungkin sedikit membantu untuk menguraikan terminologi Anda. Sebagai contoh, saya akrab dengan semua konsep matematika yang Anda sebutkan, tetapi saya tidak bisa memvisualisasikan apa yang Anda maksudkan dalam konteks ini dengan "peta ruang fase." Saya yakin di bidang khusus Anda ini tidak memerlukan penjelasan, tetapi orang-orang dari spesialisasi lain mungkin menyadari bahwa mereka benar-benar tahu bagaimana membantu Anda jika Anda sedikit lebih menjelaskan apa yang Anda maksud.

— Colin K

Sebenarnya itu poin yang bagus: karena mungkin situs ini akan menyatukan orang-orang dari berbagai disiplin ilmu, akan sangat penting untuk mendefinisikan istilah spesifik lapangan (atau setidaknya tautan ke penjelasan).

— David Z

Setuju, Collin dan David. Terima kasih atas komentarnya. Ruang fase adalah ruang posisi-momentum. Pikirkan satu posisi dalam cincin, dan elektron memiliki posisi melintang dan momentum (kecepatan). Setelah mengelilingi cincin satu kali, ia akan memiliki posisi dan kecepatan baru. Jadi itu disebut peta satu putaran. Jika linear, itu akan seperti osilator harmonik, yang melacak elips dalam ruang fase. Untuk kasus di mana lingkarannya, peta akan memiliki bentuk x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 dan p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. Apakah itu menjelaskan?

— Boaz

Saya menambahkan beberapa referensi ke literatur dalam fisika dan komputasi balok, dan menambahkan definisi singkat tentang ruang fase.

— Boaz

Kebetulan, saya mengajukan pertanyaan serupa tentang Stack Exchange, Matematika, di sini . Di sana saya bertanya tentang solusi untuk pertanyaan stabilitas dari sudut pandang matematika. Di sini, saya bertanya-tanya apakah masalah yang sama ada dalam mata pelajaran ilmiah lain, karena tampaknya agak umum, tetapi belum terhubung ke banyak di luar dinamika balok. Satu bidang yang saya ketahui adalah mode akselerator dalam fisika atom. Apakah ada yang lain?

— Boaz

Jawaban:

Anda mungkin sudah mengetahui hal ini, tetapi kedengarannya seperti sesuatu dari dunia teori kekacauan dan fraktal? (karena itu secara komputasi "sulit")

Untuk pertanyaan Anda, apakah Anda sudah melihat dunia mekanika planet dan masalah N-body? Ini juga dipaksa untuk menggunakan solusi berulang, dan fisika mendasar yang mendasarinya adalah N ^ 2, meskipun sumber gaya biasanya diizinkan untuk bergerak juga - hanya untuk memperumit hal-hal lebih lanjut.

Sudah lama sejak saya melihat mereka, tetapi penyebutan Anda tentang peta fase stabilitas terdengar sangat mirip dengan Henon Maps. Saya yakin ini harus memiliki aplikasi yang lebih luas, tetapi mereka biasanya dijelaskan dalam hal stabilitas planet (misalnya stabilitas bulan kedua dalam sistem planet-bulan).

— menang
sumber

Ya, peta Henon adalah jenis yang kita miliki dalam dinamika berkas akselerator. Masalah dengan analogi dengan masalah N-body adalah ruangnya jauh lebih besar di sana. "Fasa-ruang" adalah dimensi 6xN, sedangkan untuk partikel tunggal dalam cincin penyimpanan hanya 6-dimensi dalam kasus umum. Saya ingin tahu tentang apa domain lain berakhir dengan sesuatu seperti Henon-map untuk memodelkan dinamika. Sepanjang rute teori kekacauan, saya berpikir untuk melihat ke teori dinamika populasi juga. Terima kasih atas jawabannya.

— Boaz

Anda dapat melihat perilaku asimptotik dari Sistem Dynamical diskrit . Ada banyak literatur teoretis yang kaya tentang topik ini dalam matematika dan literatur yang lebih banyak diterapkan dalam fisika dan ilmu komputer.

— MRocklin
sumber

Terima kasih, Mrocklin. Saya telah melihat sedikit pada literatur umum, dan tidak menemukan solusi, atau mungkin terlalu matematis, dan saya tidak menemukan masalah yang sama dengan cara yang saya bisa memahaminya.

— Boaz

Berikut adalah beberapa pertanyaan dari bidang ini: (1) Apakah Anda membentuk orbit - yaitu setelah beberapa iterasi, Anda kembali ke tempat yang sama? (2) Apakah sistem Anda sensitif terhadap gangguan kecil - yaitu jika kita memulai keadaan sedikit off dari keadaan awal Anda akankah itu berakhir di tempat yang sangat berbeda? (3) Apakah beberapa jenis gangguan bertindak liar sementara yang lain jinak? Memberikan jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan semacam ini dapat memberikan beberapa wawasan tentang sifat-sifat sistem fisik Anda.

— MRocklin

(1) Di dekat titik asal, dinamikanya stabil dan membentuk orbit tertutup. Melangkah lebih jauh, kadang-kadang orang menemukan pulau-pulau stabilitas lainnya. Dan bahkan lebih jauh lagi, dinamika tidak stabil, yaitu tidak terikat. (2) Beberapa aspek sensitif dan beberapa tidak. Orbit yang stabil tidak begitu sensitif terhadap segala jenis gangguan. (3) Gangguan biasanya bertindak secara berkala dengan beberapa frekuensi. Beberapa frekuensi menyebabkan resonansi yang secara dramatis dapat mengubah dinamika bahkan untuk gangguan kecil. Tetapi mengetahui sebelumnya frekuensi mana yang berbahaya itu tidak dipahami dengan baik.

— Boaz

Mungkin berguna untuk melihat metode model Taylor; ini tampaknya merupakan artikel ikhtisar yang bagus. Coba jika COZY infinity dapat melakukan apa yang Anda inginkan.

— Erik P.
sumber

Erik terima kasih. Ya, saya agak terbiasa dengan COZY infinity. Artikel yang Anda tautkan terlihat berguna untuk tinjauan umum tentang metode penggunaan rangkaian daya untuk menghitung berbagai fungsi dan untuk menemukan batasan kesalahan, dll. Namun pertanyaan saya adalah tentang sistem apa (selain cincin penyimpanan melingkar) yang dapat dimodelkan oleh rangkaian daya dan bagaimana seseorang memecahkan untuk wilayah stabilitas. Saya tidak berpikir metode bentuk normal dapat melakukannya, misalnya. Ini merupakan tema yang berpengaruh dalam dinamika balok, tetapi saya tidak melihat bahwa itu telah menyelesaikan masalah.

— Boaz