Menemukan titik segitiga mana yang ada

Misalkan saya memiliki 2D jala terdiri dari non-overlapping segitiga , dan satu set poin { p i } M i = 1 ⊂ ∪ N k = 1 T K . Apa cara terbaik untuk menentukan di mana segitiga masing-masing titik terletak?$\{T_k\}_{k=1}^N$$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$

Sebagai contoh, pada gambar berikut ini kita memiliki , p 2 ∈ T 4 , p 3 ∈ T 2 , jadi saya ingin fungsi f yang mengembalikan daftar f ( p 1 , p 2 , p 3 ) = [ 2 , 4 , 2 ] .$p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlab memiliki fungsi pointlocation yang melakukan apa yang saya inginkan untuk jerat Delaunay, tetapi gagal untuk jerat umum.

Pikiran pertama saya (bodoh) adalah, untuk semua node , loop melalui semua segitiga untuk mencari tahu di mana segitiga p i berada. Namun, ini sangat tidak efisien - Anda mungkin harus mengulangi setiap segitiga untuk setiap titik, jadi ini bisa membuat berfungsi.$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

Pikiran saya berikutnya adalah, untuk semua poin , menemukan node mesh terdekat melalui pencarian tetangga terdekat, kemudian melihat melalui segitiga yang melekat pada node terdekat. Dalam kasus ini, pekerjaannya adalah , di mana adalah jumlah maksimum segitiga yang melekat pada setiap simpul dalam mesh. Ada beberapa masalah yang dapat dipecahkan tetapi menyebalkan dengan pendekatan ini,$p_i$$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• Ini membutuhkan penerapan pencarian tetangga terdekat yang efisien (atau menemukan perpustakaan yang memilikinya), yang bisa menjadi tugas tidak trivial.
• Membutuhkan menyimpan daftar yang segitiga dilampirkan ke setiap node, yang kode saya saat ini tidak diatur untuk - saat ini hanya ada daftar koordinat simpul dan daftar elemen.

Secara keseluruhan tampaknya tidak elegan, dan saya pikir harus ada cara yang lebih baik. Ini pasti masalah yang banyak muncul, jadi saya bertanya-tanya apakah ada yang bisa merekomendasikan cara terbaik untuk mendekati menemukan apa segitiga dalam node, baik secara teoritis atau dalam hal perpustakaan yang tersedia.

Terima kasih!

Metode hopping tepi acak yang biasa harus bekerja. Pada dasarnya, mulailah dengan sembarang segitiga dari jala, kemudian tentukan sisi mana dari titik target yang terletak di sisi yang berlawanan. Yaitu, tentukan tepi mana, ketika diperpanjang ke garis, pisahkan titik dari bagian dalam segitiga. Ketika ada dua kemungkinan, pilih satu secara acak, dan pertimbangkan segitiga yang berdekatan dengan tepi bersama itu, dan ulangi. Pengacakan harus membuat metode ini menyatu dengan probabilitas 1 untuk triangulasi Delaunay, dan saya tidak bisa memikirkan alasan mengapa metode ini tidak akan berfungsi untuk triangulasi acak.

Sunting : Saya harus menambahkan bahwa hopping tepi harus dengan konstanta yang masuk akal untuk satu titik, jadi itu akan menjadi O ( M log N ) untuk poin M. Namun, jika Anda mengurutkan poin berdasarkan lokalitas (seperti menggunakan urutan kurva Hilbert terlebih dahulu), Anda dapat menginisialisasi setiap kueri baru dengan segitiga dari kueri sebelumnya, untuk lebih mengurangi runtime (saya bukan teoretikus CS jadi saya bisa ' t memberitahu Anda apa yang besar-O akan ada di sana)$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

Sunting2 : Ditemukan PDF ini menjelaskan skema "berjalan" yang dijamin akan berakhir, dan meninjau pendekatan yang lebih naif.

Alternatif lain untuk menggunakan quadtrees adalah menggunakan Triangulation Hierarchy. Lihat Olivier Devillers. Peningkatan triangulasi Delaunay acak inkremental. Di Proc. Annu ke-14. ACM Sympos. Komputasi. Geom., Halaman 106-115, 1998. Ini bekerja paling baik untuk triangulasi Delaunay, tetapi juga bisa bekerja untuk non-Delaunay.

Pada dasarnya apa pun yang Anda lakukan untuk mempercepat lokasi titik akan memerlukan pembangunan struktur data tambahan. Dalam kasus quadtrees atau subdivisi spasial lainnya, Anda perlu membangun pohon subdivisi. Dalam kasus hopping-tepi, Anda perlu membangun struktur topologi yang berdekatan dengan segitiga. Hirarki triangulasi juga membutuhkan pembangunan pohon triangulasi yang lebih kasar.

Saya tidak yakin solusi Anda sebenarnya benar. Pertimbangkan situasi di mana Anda memiliki simpul-simpul ini:

• A: (-3, 1)
• B: (0, 2)
• C: (3, 1)
• D: (0, -5)

Ada segitiga ABC dan ACD. Sekarang B adalah titik terdekat dengan titik asal, tetapi titik asal dalam segitiga ACD, yang tidak mengandung B.

$O(N \cdot M)$

Saya akan mempertimbangkan opsi untuk membangun quadtree yang berisi segitiga sendiri. Yaitu, Anda memiliki pohon kuaterner yang menyimpan di setiap node (yang sesuai dengan kotak pembatas):

• Koordinat di mana kotak itu dipecah, atau sebagai alternatif, kotak pembatas dari empat subtrees;
• Pointer ke sub pohon;
• Himpunan segitiga yang jatuh sepenuhnya dalam kotak pembatas dari persegi panjang ini, tetapi tidak sepenuhnya dalam salah satu dari empat subtree. Dengan kata lain, segitiga yang bersinggungan dengan salah satu dari dua segmen garis yang membagi quadtree.

$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGAL menangani triangulasi dan lokasi titik (dan lebih banyak lagi). Secara khusus, modul triangulasi 2D dapat melakukan apa yang Anda inginkan.