Apakah ada algoritma yang efisien untuk fraksi lanjutan bernilai matriks?

Misalkan saya memiliki persamaan matriks yang didefinisikan secara rekursif sebagai

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

Kemudian persamaan untuk A [1] terlihat mirip dengan fraksi lanjutan, di mana ada beberapa metode yang sangat efisien yang menghindari perhitungan ulang yang membosankan (Lihat "Resep Numerik" untuk beberapa contoh).

Namun, saya bertanya-tanya apakah ada metode analog yang memungkinkan koefisien b [n] dan [n] menjadi matriks, dengan satu-satunya kendala bahwa b [n] A [n + 1] menjadi matriks persegi sehingga matriks

1 - b[n]A[n+1]

sebenarnya tidak bisa dibalik.

algorithms

— Lagerbaer
sumber

Ini adalah pertanyaan yang Anda ajukan dalam matematika. SEBELUM beberapa bulan sebelumnya, bukan? Apakah

A

$A$ persegi atau persegi panjang?

— JM

Saya ingat bahwa seseorang dalam komentar di math.SE menyarankan agar saya bertanya di sini setelah beta online :) Dalam kasus khusus saya, A adalah persegi panjang. Persamaan rekursif sesuai dengan seperangkat persamaan hirarkis, dan jumlah kuantitas tumbuh dengan

n

$n$ . Dalam kasus saya, dimensi A [n] adalah nx (n-1)

— Lagerbaer

Hanya ingin tahu, untuk apa aplikasi yang ingin Anda gunakan ini?

— Hjulle

Secara singkat, menggunakan identitas Dyson untuk Hamiltonian tertentu menghasilkan fungsi Green yang dapat saya label dengan indeks

tertentu

N

$N$ . Mengumpulkan semua fungsi dengan indeks yang sama ke dalam vektor

V_{N}

$V_N$ memungkinkan saya untuk menulis

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$ menggunakan identitas Dyson dan perkiraan yang sesuai. Menggunakan cut-off sehingga

V_{N} = 0

$V_N = 0$ untuk semua

n \geq N

$n \ge N$ memungkinkan saya untuk menemukan matriks

A_{n}

$A_n$ sehingga

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$ dan matriks ini diberikan oleh persamaan gaya lanjutan fraksi saya. Teknik ini dapat, misalnya, menghitung fungsi lattice Green untuk model yang terikat erat.

— Lagerbaer

Itu bukan bidang saya, tetapi saya beberapa waktu lalu di sebuah seminar di mana sesuatu yang berkaitan dengan masalah ini disajikan. [Sini] [1] adalah satu-satunya jejak yang dapat saya temukan secara online. Saya benar-benar tidak tahu apakah itu membantu. [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

Jawaban:

Dua metode berikut diberikan dalam Fungsi Matriks: Teori dan Perhitungan oleh Nicholas Higham, di halaman 81. Rumus-rumus ini mengevaluasi

di manaadalah matriks persegi.

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

Metode top-down:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

untuk j = 1: 2m

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

akhir

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

Metode bottom-up:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

untuk j = 2m − 1: −1: 1

Memecahkan untuk . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

akhir

$r_m=b_0I+Y_1$

Pertanyaannya meminta evaluasi bentuk yang lebih umum

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

Ini dapat dievaluasi dengan generalisasi sederhana dari rumus di atas; misalnya metode bottom-up menjadi

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

untuk j = 2m − 1: −1: 1

Memecahkan untuk . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

akhir

. $r_m=b_0I+Y_1$

— David Ketcheson
sumber

Ini terlihat sangat menarik. Saya akan melihat apakah saya dapat menerapkannya pada masalah spesifik saya tetapi menjawab pertanyaan karena b [n] * A [n + 1] saya adalah matriks persegi

— Lagerbaer

Ah, tapi saya baru saja memperhatikan bahwa matriks

adalah sama di mana-mana dalam solusi Anda, tetapi saya belum tentu.

X

$X$

— Lagerbaer

Oke, saya sudah menggeneralisirnya.

— David Ketcheson

Saya tahu bahwa jawaban ini menghasilkan banyak asumsi, tetapi setidaknya menggeneralisasikan algoritme Anda:

Misalkan , , dan matriks pembenihan, , semua membentuk keluarga komuter dari matriks normal, di mana nilai eigen dekomposisi dari $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ dan dikenal sebagai apriori, katakanlah , , dan $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ , di mana adalah kesatuan dan , , dan adalah matriks diagonal bernilai kompleks. $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

Setelah kita mengatakan dekomposisi, dengan induksi,

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

yang dapat diatur ulang ke dalam formulir

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— Jack Poulson
sumber