Metrik yang umum digunakan untuk menghitung ketidakteraturan mesh triangular

Katakanlah Anda memiliki jaring segitiga pada bidang datar. Ini telah ditarik untuk akhirnya menyelesaikan beberapa masalah dalam mekanika, misalnya.

Jala segitiga sama sisi adalah yang terbaik karena jarak antara simpul dan antara centroid adalah sama di seluruh. Ini membuat interpolasi dan perhitungan gradien menjadi tugas yang mudah dan akurat. Namun, karena kendala dan keadaan, tidak selalu mungkin untuk bekerja pada semua segitiga sama sisi.

Jadi, pertanyaannya berkaitan dengan elemen segitiga berbentuk arbitrer.

Mengenai elemen mesh individu . Metrik mana yang biasanya digunakan untuk mengukur ketidaksamaan satu segitiga generik dari beberapa bentuk sama sisi ideal ideal?

Tentang seluruh jala . Metrik mana yang digunakan untuk mengukur ketidakteraturan dari segumpal segitiga sembarang pada keseluruhan? Metrik-metrik ini harus menunjukkan seberapa teracaknya mesh.

Terima kasih sudah memikirkannya.

Catatan Semua kontribusi dari komunitas elemen hingga telah sangat dihargai. Untuk pertanyaan ini, harap perhatikan bahwa minatnya adalah untuk mengukur perbedaan murni dalam geometri (segitiga sembarang dan sama sisi). Efek selanjutnya pada kesalahan interpolasi dan pengkondisian adalah di luar ruang lingkup. Memang ini bisa berwawasan dan relevan, mereka mempersulit penanganan matematika.

mesh-generation mesh geometry

— XavierStuvw
sumber

Sudahkah Anda memeriksa pertanyaan ini ? Dan dari pos itu: "Apa elemen hingga yang bagus?"

— nicoguaro

Saya pikir rasio area / jari-jari antara incircle dan circumcircle mungkin bekerja. Rasio nilai eigen dari sudut Jacobian, minimum, dan maksimum, juga.

— nicoguaro

Salah satu makalah Shewchuck yang paling terkenal membahas topik ini secara mendalam: Apa itu elemen hingga linier yang baik?

— Paul

@nicoguaro Terima kasih. Saya tidak tertarik secara khusus pada FEM, tetapi dalam mengukur perbedaan dalam bentuk elemen-elemen. Bisakah Anda menguraikan rasio jari-jari misalnya? Apakah itu tidak tergantung ukuran? Dengan kata lain, itu akan dihargai jika Anda dapat membuat daftar opsi Anda dalam jawaban untuk orang lain untuk membangun.

— XavierStuvw

Anda juga bisa melihat sudut minimum di salah satu elemen mesh. Idenya adalah bahwa ini ingin sebesar mungkin

— KyleW

Jawaban:

Seperti yang dikatakan @Nicoguaro dan @Paul dalam komentar di posting pertanyaan, ada banyak cara untuk melakukan hal semacam ini, dan saya tidak yakin apakah ada satu pendekatan "terbaik".

Dari sebuah studi ulasan Jonathan Richard Shewchuck di Berkley, sebuah jawaban adalah:

Silakan merujuk ke dokumen asli (versi 31/12/2002) untuk simbologi, terminologi, fitur-fitur khusus dan mungkin lebih (mis. Tetrahedra). Bab 6 adalah tentang ukuran kualitas. Dokumen yang ditautkan adalah versi yang diperluas, dan di halaman web JRS juga ada ringkasan.

Secara pribadi, saya penggemar metrik "volume-panjang". Ini adalah indikator skalar (isotropik) yang kuat, kuat, dan murah untuk dihitung. Dalam dua dimensi:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

di mana adalah area yang ditandatangani dari segitiga danadalah panjang tepi root-mean-square. Elemen ideal mencapai , yang berkurang ke nol dengan peningkatan distorsi. Elemen terbalik dengan orientasi terbalik memiliki . $A$ $\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$ $a=1$ $a < 0$

Untuk menilai kualitas triangulasi yang tidak terstruktur, biasanya kita melihat histogram dari metrik kualitas elemen tersebut. Ada banyak implementasi hal-hal seperti itu di luar sana, tetapi satu MATLABbasis kode saya yang lurus ada di sini .

Selain skor volume-panjang, histogram sudut elemen dan derajat verteks juga dihitung secara default.

— Darren Engwirda
sumber

Mengapa Anda penggemar metrik ini? Apakah itu baik dalam memprediksi keakuratan simulasi yang Anda lakukan dengan jerat?

— BrunoLevy

@BrunoLevy: Yah, sebagai pilihan "default" sederhana untuk simpleks: ia secara umum digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi, murah untuk dihitung, dikondisikan secara numerik, menyediakan indikator "kusut" kembali. orientasi, dan merupakan indikator "hanya geometri" yang sederhana, sesuai pertanyaan. Apakah ini merupakan indikator yang baik untuk kualitas simulasi? Yah, itu tergantung pada apa yang Anda lakukan! Jika Anda tertarik pada jerat isotropik, saya akan mengatakan ya. Konfigurasi anisotropik sangat tergantung arah, maka tidak, tidak secara langsung, meskipun dalam kasus seperti itu masih dapat digunakan setelah transformasi koordinat yang sesuai.

— Darren Engwirda

Juga mulus, sehingga Anda dapat menjalankannya dengan formulasi Lagrangian-Euler yang tersirat dan tersirat. Dengan sedikit usaha Anda dapat menggeneralisasikannya ke jerat anisotropik.

— likask

@likask: Ya, poin bagus - ini bisa menjadi fungsi biaya yang baik untuk pemulusan dan optimasi mesh.

— Darren Engwirda

Saya telah menambahkan kutipan dari karya Shewcuck yang memperluas ruang lingkup jawaban Darren. Ini merangkum beberapa komentar juga. Terima kasih untuk semua kontributor posting ini.

— XavierStuvw

Saya tidak berpikir bahwa ada jawaban untuk pertanyaan ini secara umum , karena semuanya tergantung pada tujuan penggunaan mesh. Misalnya, jika Anda melakukan dinamika fluida komputasional, Anda mungkin ingin memiliki mesh yang sangat anisotropik di dekat lapisan batas. Sekarang jika Anda melakukan elektromagnetik komputasi, mesh terbaik mungkin akan sangat berbeda.

Ada dalam literatur banyak definisi yang berbeda untuk kriteria "kualitas jala". Sebagian besar dari mereka akan menyukai jerat dengan segitiga yang setaraf mungkin. Kita juga bisa menyebutkan gagasan memaksimalkan sudut terkecil (yang diwujudkan oleh triangulasi Delaunay untuk satu set poin tetap). Hal ini dibenarkan oleh analisis Jonathan Shewchuk yang disebutkan dalam salah satu komentar, yang menghubungkan sudut ini dengan jumlah kondisi dari matriks kekakuan untuk persamaan Laplace yang didiskritisasi dengan elemen P1, tetapi sekali lagi, tergantung pada penggunaan yang dimaksudkan, jala baik seseorang dapat menjadi seseorang. mesh miskin lain.

Saya tidak berpikir bahwa masuk akal untuk "mengukur perbedaan murni dalam geometri (arbitrary vs sama sisi segitiga)": sebelum mengukur apakah segitiga sama sisi dan memutuskan mana "deviasi wrt equilaterality" adalah yang terbaik, perlu untuk mencari tahu apakah "segitiga sama sisi" adalah yang kita inginkan, dan tidak selalu demikian! Itu semua berasal dari "interpolasi dan pengkondisian" yang Anda sebutkan. Ya, seperti yang Anda katakan "itu mempersulit penanganan matematis" tetapi tanpa itu, tidak mungkin membuat perbedaan antara kriteria objektif untuk aplikasi yang diberikan dan kriteria yang tidak masuk akal sama sekali.

— BrunoLevy
sumber