Dekomposisi nilai eigen dari penjumlahan: A (simetris) + D (diagonal)

Misalkan adalah matriks simetris nyata dan dekomposisi nilai eigennya diberikan. Sangat mudah untuk melihat apa yang terjadi dengan nilai eigen dari jumlah mana adalah konstanta skalar (lihat pertanyaan ini ). Bisakah kita menarik kesimpulan dalam kasus umum mana adalah matriks diagonal acak? Terima kasih. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Salam,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
sumber

Anda mungkin mendapatkan jawaban yang lebih baik jika Anda menentukan jenis kesimpulan apa yang Anda minati.

— David Ketcheson

@ DavidKetcheson, ya, Anda memang benar. Sebenarnya, saya mencoba mencari cara yang efisien untuk menghitung urutan eksponensial matriks dari bentuk

mana

diperbaiki dan

adalah matriks diagonal. Saya berharap untuk melakukan dekomposisi nilai eigen dari

hanya sekali dan kemudian menggunakannya entah bagaimana untuk menjelaskan koreksi yang diperkenalkan oleh matriks diagonal. Sayangnya,

dan

tidak bepergian secara umum, jadi

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Saya akan berterima kasih jika Anda bisa berbagi ide tentang itu. Terima kasih.

— Ivan

Ini terkait dengan scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Jawaban:

Satu dapat mengatakan sangat sedikit, kecuali untuk generalisasi seperti bahwa nilai eigen berubah terus menerus dengan entri . $D$

Anda dapat melihat dengan perhitungan simbolik dalam kasus 2 dengan 2 bahwa tidak ada yang kuat yang bisa diharapkan.

— Arnold Neumaier
sumber

Terima kasih atas jawabannya, saya tahu saya akan mendengar sesuatu seperti ini. Bolehkah saya meminta Anda untuk melihat komentar saya di atas.

— Ivan

kompleksitas penghitungan matriks eksponensial dan penghitungan faktorisasi spektral hampir sama. Jadi tidak, tidak ada solusi sederhana. Namun, apa yang dapat Anda lakukan, jika matriks diagonal Anda terletak pada subruang lowD, untuk menghitung bagian yang relevan dari eksponensial (atau memang, apa pun yang ingin Anda hitung dari itu) untuk sejumlah pilihan spesifik yang didistribusikan dengan baik di ruang Anda dari nilai yang diinginkan, dan kemudian gunakan algoritma interpolasi untuk memperkirakan yang lainnya.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu dan Stanley C. Eisenstat telah mempelajari masalah ini sebelumnya, lihat tautannya: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Makalah ini memecahkan masalah permutasi peringkat satu, yang tidak dapat menyelesaikan masalah di sini. Jika ada yang memenuhi masalah permutasi peringkat-satu, itu membantu.

— skyuuka
sumber

Menambahkan matriks diagonal bukanlah koreksi peringkat satu, jadi saya tidak yakin bagaimana makalah ini membantu dalam kasus ini.

— Christian Clason

@ChristianClason: Benar! Saya baru menyadarinya. Terima kasih telah menunjukkannya!

— skyuuka