Apa alasan bahwa LAPACK menggunakan

9

QR rutin LAPACK menyimpan Q sebagai reflektor rumah tangga. Ini skala vektor refleksi dengan , jadi elemen pertama hasilnya menjadi , sehingga tidak harus disimpan. Dan itu menyimpan vektor terpisah , yang berisi faktor skala yang diperlukan. Jadi matriks reflektor adalah seperti ini: $v$ $1/v_1$ $1$ $\tau$

H = I - τ v v^{T},

$H=I-\tau v v^T,$

di mana tidak dinormalisasi. Sementara, dalam buku teks, matriks reflektor adalah $v$

H = I - 2 v v^{T},

$H = I-2vv^T,$

di mana dinormalisasi. $v$

Mengapa LAPACK berskala dengan , alih-alih menormalkannya? $v$ $1/v_1$

Penyimpanan yang dibutuhkan sama (bukan , harus disimpan), dan setelah itu, menerapkan dapat dilakukan lebih cepat, karena tidak perlu mengalikan dengan (perkalian dengan dalam versi buku teks dapat dioptimalkan, jika alih-alih normalisasi sederhana, diskalakan oleh ). $\tau$ $v_1$ $H$ $\tau$ $2$ $v$ $\sqrt 2/\|v\|$

(Alasan pertanyaan saya adalah saya menulis rutin QR dan SVD, dan saya ingin tahu alasan keputusan ini, apakah saya perlu mengikutinya atau tidak)

linear-algebra matrix lapack

— geza
sumber

7

Varian yang diblokir dari Householder-QR yang menggerakkan desain ini. Jika Anda melihat dalam buku Golub dan Van Loan (Bab 5.2 atau lebih), mereka berbicara tentang bagaimana k-iterasi dari algoritma dapat diblokir bersama-sama dengan mengumpulkan reflektor individu ke dalam reflektor peringkat-k dari bentuk , di mana keduanya dan adalah matriks "kurus tinggi" dengan ukuran . Algoritma ini bekerja lebih banyak tetapi lebih cepat dalam praktik karena kaya akan panggilan permata (). Sayangnya itu boros dalam penyimpanan karena kebutuhan untuk mewakili dan secara mandiri. $\mathbf I + \mathbf W \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf Y$

Dalam makalah selanjutnya (dikutip di bawah), Van Loan menjelaskan struktur data "simetri" yang lebih efisien, sebuah reflektor blok dari formulir . Di sini masih , tetapi persyaratan gagal / penyimpanan untuk membentuk telah dieliminasi dengan memperkenalkan , sebuah matriks segitiga atas kecil atas . Meskipun kebutuhan untuk mengalikan dengan memperkenalkan sejumlah kecil pekerjaan tambahan, itu biasanya merupakan keuntungan bersih karena . $\mathbf I + \mathbf Y \mathbf T \mathbf Y^{\mathrm T}$ $\mathbf Y$ $n \times k$ $\mathbf W$ $\mathbf T$ $k \times k$ $\mathbf T$ $k << n$

Di dalam LAPACK, algoritma yang tidak diblokir sebenarnya hanya kasus yang membatasi algoritma blok, sampai ke pilihan simbol (yang membawa kita ke , versi dari segitiga). $k \rightarrow 1$ $\tau$ $1\times1$ $\mathbf T$

Kutipan: Schreiber, Robert, dan Charles Van Loan. "Representasi WY yang efisien-penyimpanan untuk produk-produk transformasi Householder." Jurnal SIAM tentang Komputasi Ilmiah dan Statistik 10.1 (1989): 53-57.

— rchilton1980
sumber

Terima kasih atas jawabannya! Saya tidak melihat, bahwa hanya -sized . Dalam makalah yang dikutip, dalam Algoritma 5, adalah , dan adalah -2. Jadi itu berakhir sebagai versi buku teks, bukan sebagai versi LAPACK. Apakah saya melewatkan sesuatu?

τ

$\tau$

1 \times 1

$1 \times 1$

T

$\mathbf T$

Y

$\mathbf Y$

v

$v$

T

$\mathbf T$

— geza

2

Anda tidak harus menyimpan , Anda dapat menghitung ulang dari sisa vektor. (Anda dapat menghitung ulang dari entri lain juga dalam versi yang dinormalkan, tetapi jelas merupakan perhitungan yang tidak stabil karena pengurangan tersebut.) $\tau$ $v_1$

Sebenarnya, Anda dapat menggunakan kembali bagian segitiga-bawah untuk menyimpan , sehingga faktorisasi dikomputasi sepenuhnya di tempat. Lapack sangat peduli dengan versi algoritma ini. $R$ $v_2,...v_n$

— Federico Poloni
sumber

1

Saran saya didasarkan pada dokumentasi untuk Intel MKL https://software.intel.com/en-us/mkl-developer-reference-c-geqrf . Sepertinya nilai-nilai pada dan di atas diagonal dari toko keluaran R sehingga hanya ada segitiga bawah yang tersisa untuk Q. Tampaknya alami untuk menggunakan penyimpanan tambahan untuk faktor penskalaan.

— VorKir
sumber