Dalam keadaan apa integrasi Monte Carlo lebih baik daripada quasi-Monte Carlo?

Sebuah pertanyaan yang cukup sederhana: untuk melakukan integral multidimensi, mengingat bahwa seseorang telah memutuskan bahwa semacam metode Monte Carlo sesuai, apakah ada keuntungan bahwa integrasi MC biasa menggunakan nomor pseudorandom memiliki lebih dari integrasi kuasi-Monte Carlo menggunakan urutan quasirandom ? Jika demikian, bagaimana saya mengenali situasi di mana keuntungan ini akan muncul? (Dan jika tidak, mengapa ada yang pernah menggunakan integrasi lama Monte Carlo?)

Simulasi Monte Carlo adalah metode pilihan untuk perhitungan hamburan elektron. Trik seperti sampel kepentingan digunakan kadang-kadang, jadi Anda bisa mengatakan itu bukan Monte Carlo tua biasa. Tetapi poin utamanya adalah mungkin bahwa proses stokastik inheren disimulasikan di sini, sementara Anda hanya bertanya tentang penggunaan Monte Carlo untuk integrasi.

Karena tidak ada orang lain yang mencoba menawarkan jawaban, izinkan saya mencoba sedikit memperluas jawaban saya. Asumsikan kita memiliki simulasi hamburan elektron, di mana hanya angka tunggal, seperti koefisien hamburan balik, dihitung. Jika kita akan merumuskan kembali ini sebagai integral multidimensi, itu mungkin akan menjadi integral dimensi tak terbatas. Di sisi lain, selama simulasi lintasan tunggal, hanya sejumlah terbatas angka acak yang diperlukan (angka ini bisa menjadi cukup besar, jika generasi elektron sekunder diperhitungkan). Jika kita akan menggunakan urutan quasirandom seperti latin hypercube sampling, kita harus menggunakan pendekatan dengan jumlah dimensi yang tetap, dan menghasilkan angka acak untuk setiap dimensi untuk setiap titik sampel.

Jadi saya pikir perbedaannya adalah apakah beberapa jenis unit-hypercube dimensi tinggi sampel, versus awan probabilitas dimensi tak terbatas di sekitar titik asal.

Beberapa penelitian saya melibatkan pemecahan persamaan diferensial parsial stokastik skala besar. Dalam hal ini, pendekatan monte carlo tradisional dari integral kepentingan menyatu terlalu lambat sehingga tidak layak dalam arti praktis ... yaitu saya tidak ingin harus menjalankan simulasi 100 kali lebih banyak hanya untuk mendapatkan titik desimal lebih akurat ke integral. Sebaliknya, saya cenderung menggunakan metode lain seperti grid smolyak jarang karena mereka menawarkan akurasi yang lebih baik dalam evaluasi fungsi yang lebih sedikit. Ini hanya mungkin karena saya dapat mengasumsikan tingkat kelancaran dalam fungsi tertentu.

Adalah masuk akal untuk menduga bahwa jika Anda mengharapkan bahwa fungsi yang Anda integrasikan memiliki struktur tertentu (seperti kehalusan), akan lebih baik untuk menggunakan skema quasi-monte carlo yang mengeksploitasinya. Jika Anda benar-benar tidak dapat membuat asumsi yang sangat banyak tentang fungsi tersebut, maka monte carlo adalah satu-satunya alat yang dapat saya pikirkan untuk menanganinya.

Keuntungan dari integrasi Monte-Carlo tradisional daripada integrasi quasi-Monte Carlo dibahas dalam makalah Kocis dan Whiten di sini . Mereka mencantumkan alasan berikut:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Sayangnya, perbedaan teoretis dari sekuens yang ada tidak dapat digunakan untuk nilai s sedang dan besar. Pilihan lainnya, evaluasi numerik dari perbedaan bintang dari sekuens untuk s besar, membutuhkan upaya komputasi yang berlebihan, dan bahkan estimasi numerik yang wajar dari perbedaan tersebut sangat sulit diperoleh.

  Dengan integrasi tradisional Monte-Carlo, kita dapat menentukan tujuan kesalahan dan menunggu karena batas kesalahan dapat dihitung dengan mudah. Dengan QMC, kita harus menentukan sejumlah evaluasi fungsi dan berharap kesalahan ada dalam tujuan kita. (Perhatikan bahwa ada teknik untuk mengatasi ini, seperti kuasi-Monte Carlo acak, di mana beberapa perkiraan kuasi-Monte Carlo digunakan untuk memperkirakan kesalahan.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Untuk quasi-Monte Carlo untuk mengalahkan Monte-Carlo tradisional, integand harus memiliki "dimensi efektif rendah". Lihat makalah Art Owen tentang hal ini di sini .